Frosenıus: Über endliche Gruppen. 177 
Divisor € der Ordnung p’>p’ gemeinsam hätten. Die Gruppe U ist 
also durch die in ihr enthaltene Gruppe € vollständig bestimmt. 
Sei A irgend eine in 5 enthaltene durch D theilbare Gruppe 
der Ordnung p“. Bilden die mit D vertauschbaren ae von A 
die Gruppe € der Ordnung p?, so ist y>0d nach Satz V.$.2. Da VD’ 
alle Elemente von 9 enthält, die mit D vertauschbar so ist E 
ein Divisor von ®‘, nämlich der grösste gemeinsame Divisor von A 
und ®. Folglich giebt es in D’ eine Gruppe ® der Ordnung pP, 
die durch E theilbar ist, und es ist ö=y>d. Daher enthält 95 eine 
und nur eine Gruppe der Ordnung p“, die durch ® theilbar ist. Diese 
ist auch durch € theilbar, und muss daher die Gruppe A sein, weil 
es in 9 keine andere durch € theilbare Gruppe der Ordnung p“ giebt. 
Sind aber A und D’ durch ® theilbar, so ist auch ihr grösster ge- 
meinsamer Divisor € durch ® theilbar, und weil andererseits ® durch 
G theilbar ist, so ist B—=( und %=y. Jeder Gruppe A entspricht 
also eine und nur eine Gruppe ®, welche der grösste gemeinsame 
Divisor von A und OD ist. 
Ist & eine invariante Untergruppe von OD‘, deren Ordnung eine 
Potenz von p ist, so giebt es in D’ eine durch & theilbare Gruppe 
®, der Ordnung p®. Da aber p® die höchste Potenz von p ist, die 
in d’ aufgeht, so sind ®B und ®, eonjugirt, es ist B=D'B,D, wo 
D ein Element von DV’ ‚ist. Mithin ist B, also jede in D’ enthaltene 
Gruppe der Ordnung p?, durch D’$D=6 theilbar. Da D eine in- 
variante Untergruppe der Ordnung p’ von D ist, so ist folglich D 
ein gemeinsamer Divisor aller Gruppen ®. Weil ß>d ist, so giebt 
es in $ eine und nur eine Gruppe A der Ordnung p“, die durch ® 
theilbar ist, und diese ist, ebenso wie ®, durch D® theilbar. 
Da sich also die Gruppen A und 9 einander gegenseitig ein- 
deutig zuordnen lassen, so ist die Anzahl der in 9 enthaltenen durch 
D theilbaren Gruppen A der Ordnung p“ gleich der Anzahl der in 
® enthaltenen Gruppen der Ordnung p’. Je zwei verschiedene 
Gruppen ® und ®, haben den gemeinsamen Divisor D, aber keinen 
grösseren, weil sonst auch die ihnen entsprechenden Gruppen X und 
A, die verschieden sind, einen Divisor gemeinsam hätten, dessen 
Ordnung >p’ wäre. Die Zahl ö hat also für die Gruppe D’ dieselbe 
Bedeutung wie für die Gruppe 9. Nach Satz VIIL., $.2 ist daher die 
Anzahl der Gruppen ® (oder A) = I(mod. p?°). 
Zugleich ist D der grösste gemeinsame Divisor aller in D’ ent- 
haltenen Gruppen B, ®,. ®,,--: der Ordnung p°. Ist also & irgend 
eine invariante Untergruppe von D’, deren Ordnung eine Potenz von 
p ist, so ist © als gemeinsamer Divisor aller dieser Gruppen in D 
enthalten. Da nun ß>ö ist, so ist ® nicht ein Divisor von D, kann 
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