178 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 21. Februar. 
also nicht eine invariante Untergruppe von D’ sein. Dass D’ mehr 
als eine Gruppe ® der Ordnung p? enthält, folgt auch aus den über 
die Anzahl der Gruppen ® gefundenen Ergebnissen. Speciell kann 
nicht B= D’ sein. Daher ist d’>p®, und weil p? die höchste in d’ 
aufgehende Potenz von p ist, so muss d’ noch mindestens durch 
eine von p verschiedene Primzahl theilbar sein. 
Ist H ein mit D’ vertauschbares Element von $, so ist H’DH 
eine invariante Untergruppe von H'"DV’H— DV, deren Ordnung p? ist, 
also ein Divisor von ®, und mithin ist IOH—=D. Folglich ist H 
in D’ enthalten. Die Anzahl der mit D’ vertauschbaren Elemente 
von 5 ist demnach gleich d’. Daher ist die Anzahl der verschiede- 
h 
nen mit D’ eonjugirten Untergruppen von 9 gleich 7 Die Gruppe D’ 
kann, wenn sie von 5 verschieden ist, nie eine invariante Unter- 
gruppe von 9 sein. 
Sei H ein mit ® vertauschbares Element von 9. Ist A durch ® 
theilbar, so ist auch H'AH durch H’'BH—% theilbar. Da es aber 
in $ nur eine durch ® theilbare Gruppe der Ordnung p“ giebt, so 
ist HAH—N, also H in W enthalten. 
Gehört umgekehrt H der Gruppe W an, so ist TAH=NA 
durch H'®H theilbar. Ist H zugleich ein Element von D, so ist 
auch D’ durch H’BH theilbar. Es giebt aber in D’ nur eine Gruppe 
der Ordnung p?, die in A enthalten ist. Folglich ist H’BH=%, 
also H in ® enthalten. 
S 
S. 4. 
Die Gruppe & der Ordnung g sei in der Gruppe 5 der Ord- 
nung A=gn enthalten, und es sei 
(1.) S=6H, +6H, +---+6H.. 
Ist A ein Element von 9, so ist SA=% und folglich auch 
(2.) 5 — GH A+6H,A+:--+6H,A. 
Die n in dieser Gleichung auftretenden Complexe sind alle unter ein- 
ander verschieden und stimmen daher mit den in der Gleichung (1.) 
auftretenden Complexen, abgesehen von der Reihenfolge, überein. 
Auf diese Weise ist jedem Elemente A eine Permutation der n Com- 
plexe (1.) zugeordnet, die ich mit a bezeichnen will. Entspricht dem 
Elemente B die Permutation 5b, so entspricht dem Elemente AB die 
Permutation ab, und so entspricht der Gruppe 9 eine Gruppe von 
Permutationen. Der identischen Permutation entsprechen alle Ele- 
mente A, für welche 6H,A= 6H, ist für jeden Werth von v, also 
da H, durch jedes (mod. &) aequivalente Element 4 ersetzt werden 
