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Frosentus: Über endliche Gruppen. 179 
kann, für welche (H"6H)A = H"'6H ist für jedes Element H von 9. 
Nach (1.) $.ı ist folglich A in der Gruppe H&H enthalten. Durch- 
läuft 7 alle Elemente von 9, so durchläuft 76H alle mit © (in 
Bezug auf 5) conjugirten Gruppen. Der grösste g=meinsame Divisor D 
aller dieser conjugirten Gruppen ist eine invariante Untergruppe von 
9 und ist zugleich die grösste in © enthaltene Gruppe, die eine in- 
variante Untergruppe von 9 ist (vergl: Camırze Jorpan, Traite des 
substitutions, 368). Die beiden Gruppen bh und = sind daher (holo- 
edrisch) isomorph. Es ergiebt sich also der Satz: 
I. Ist die Gruppe & der Ordnung g in der Gruppe 9 der Ordnung 
h enthalten, und ist D die grösste in & enthaltene invariante Untergruppe 
von 9, so lässt sich die Gruppe D als eine transitive Gruppe von Peı- 
: I 
mutationen von n Symbolen darstellen. 
Ist D die Hauptgruppe €, enthält also & keine von der Haupt- 
gruppe verschiedene Gruppe, die eine invariante Untergruppe von 9 
ist, so lässt sich 59 als transitive Gruppe b von Permutationen von 
h 
Zn n Symbolen darstellen. Ist umgekehrt bh eine transitive Gruppe 
von Permutationen von n Symbolen, also vom Grade » und der Ord- 
nung A, und bilden die Permutationen, die ein bestimmtes Symbol 
ungeändert lassen, die Gruppe 9 der Ordnung 9 = a so enthält q 
keine von der Hauptgruppe verschiedene Gruppe, die eine invariante 
Untergruppe von b ist. 
Giebt es, falls D—€ ist, eine von ® und 9 verschiedene Gruppe Q, 
die in 9 enthalten ist und © enthält, so ist die Gruppe h imprimitiv. 
Giebt es aber keine solche Gruppe A, so ist b primitiv (Dvex, Math. 
Ann. Bd. 22). Der Bedingung (D= €), welche © befriedigen muss, 
braucht X nicht zu genügen, sondern der grösste gemeinsame Divisor 
aller mit A conjugirten Gruppen kann eine von E verschiedene in- 
variante Untergruppe von 9 sein. Ist er gleich €, so lässt sich 9 
Rh: _ ıh 
als transitive Gruppe von Permutationen von nr Symbolen dar- 
stellen. Eine imprimitive Gruppe des Grades n ist also entweder 
zusammengesetzt oder einer transitiven Gruppe isomorph, deren Grad 
ein echter Theiler von rn ist. Die Gruppe W besteht aus mehreren 
der Complexe &©H, ,&H,,--:6H,, enthält sie aber nicht alle. Einer 
dieser Complexe, der das Hauptelement enthält, ist gleich &, etwa 
$&H,. Ausser diesem enthält 5 noch mindestens einen anderen, etwa 
6H,, also auch das Element H, und die Gruppe H, '6H,. Aus diesen 
Bemerkungen ergeben sich die beiden folgenden Kriterien: 
