180 Sitzung der physikalisch- mathematischen Classe vom 21. Februar. 
Damit bh primitiv sei, ist nothwendig und hinreichend, dass jeder 
der n-1 Complexe 6H,,---6H, die Gruppe 9 erzeugt. Ist b im- 
primitiv, so erzeugt mindestens einer dieser Complexe eine von ® 
und 5 verschiedene Gruppe X, die ein Theiler von 5 und ein Viel- 
faches von & ist (Runio, Über primitive Gruppen, Creııe’s Journ. 
Bd. 102, I). j 
Ist die Ordnung von 9 eine Primzahl, so ist b stets primitiv. 
Damit eine Gruppe b, deren Ordnung nicht eine Primzahl ist, pri- 
mitiv sei, ist nothwendig und hinreichend, dass das kleinste gemein- 
schaftliche Vielfache von & und H'G6H stets gleich 9 ist, wenn H 
irgend ein in © nicht enthaltenes Element von 9 ist. Denn für ein 
bestimmtes H sei C<S das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von 
& und H’6H. Ist H’6H von © verschieden, so ist C>®. Ist 
aber H'’$H — &, so gehört H der Gruppe © an, die von allen mit 
6 vertauschbaren Elementen von 5 gebildet wird. © enthält die 
Gruppe & und das Element H, das der Gruppe & nicht angehört, 
also ist © >@&. Wäre nicht © <$%, sondern Ö® —= 9, so wäre & 
eine invariante Untergruppe von 9, also da D=€ ist, G=€. Ist 
die Ordnung von 9 nicht eine Primzahl, so enthält 9 eine von E=6& 
und $ verschiedene Untergruppe A (vergl. Ruvıo, a.a. O0. S. 3; Nerro 
a.a. 0. 8.6). 
Eine besonders wichtige Darstellung einer Gruppe 5 erhält man, 
indem man &—=€ wählt. Wie eben gezeigt, ist dann bh imprimitiv, 
ausser wenn A eine Primzahl ist. Jede Permutation von b ausser 
der identischen versetzt alle A Symbole. Ist z.B. h=2n==2 (mod. 4), 
so enthält 5 eine Permutation der Ordnung 2, die aus n Cyelen der 
Ordnung 2 besteht, also ungerade ist. Jede Gruppe, deren Ordnung Ah 
das Doppelte einer ungeraden Zahl ist, hat folglich eine invariante 
Untergruppe der Ordnung +4. 
Eine einfache Gruppe der Ordnung A, die eine Untergruppe der 
h . = - . 
Ordnung — hat, wo n>1 ist, lässt sich stets als transitive Gruppe 
des Grades n darstellen. 
Mit Hülfe des obigen Satzes lässt sich der Satz IV., $.2 von 
Neuem beweisen und noch etwas verallgemeinern: 
I. Ist eine Gruppe 9 der Ordnung gn durch eine Gruppe & der 
Ordnung g theilbar, und ist a der grösste gemeinsame Divisor von g und 
(n-1)!, so enthält & eine Gruppe, die eine invariante Untergruppe von 9 
ist, und deren Ordnung durch e theilbar ist. 
Denn ist D die grösste in © enthaltene Gruppe, die eine in- 
IR - = . D 
variante Untergruppe von 9 ist, d ihre Ordnung, so lässt sich D als 
