Frogentus: Über endliche Gruppen. 181 
eine transitive Gruppe der Permutationen von n Symbolen darstellen. 
n h (n—1)! g k 
Daher ist n! durch 7 also z d durch = theilbar. Da aber 
(n—1)! 
a 
und z theilerfremd sind, so ist d durch & theilbar. 
Zu einer nur scheinbar allgemeineren Darstellung von 5 gelangt 
man, indem man für © eine beliebige Gruppe wählt. Dann zerfällt 
nach I., $.ı der Complex 695 in eine Anzahl verschiedener Complexe 
(3.) 65=6H +6H, +--+6H, 
von denen nicht zwei ein Element gemeinsam haben. Die Elemente 
H ,H,,:::H, gehören der Gruppe 5 an und bilden ein vollständiges 
Restsystem von 5 (mod. 6). Ihre Anzahl z, die ich mit (9, 6) be- 
zeichne, ist gleich —, wo g, die Ordnung des grössten gemeinsamen 
0 
Divisors ©, von & und 9 ist. Ist dann A irgend ein Element von 
9, so ist auch 
(4.) 65 = 6H,A+6H,A +: -+ 6H,A, 
und so ist dem Elemente A eine Permutation a zugeordnet. Durch- 
läuft H alle Elemente von 9, so sei D der grösste gemeinsame Divisor 
aller Gruppen H'&H, die mit & in Bezug auf 9 eonjugirt sind. 
Dann ist D mit jedem Elemente von 9 vertauschbar. Die von den 
Permutationen a gebildete Gruppe b ist der Gruppe 
Sr FOND 
DET: 
isomorph, wo ®, der grösste gemeinsame Divisor von D und 9 ist. 
Bestimmt man von jedem in der Gleichung (3.) auftretenden Com- 
plexe die Elemente, die er mit 5 gemeinsam hat, so erhält man 
SS = 6H +6, H,+:-:+ 6... 
Da D, auch der grösste gemeinsame Divisor aller mit ©, in Bezug 
auf 5 conjugirten Gruppen ist, so ist damit diese Darstellung auf die 
obige zurückgeführt. 
Man kann noch in einer zweiten Art eine Gruppe 5 mit Hülfe 
einer Untergruppe & als transitive Gruppe von Permutationen dar- 
stellen. Ist nämlich 
(5.) S= Kr R,6+--+ K,®, 
so ist auch, falls A ein Element von 9 ist, 
(6.) S=4A"K6+ ATKR6+- + AU’KG, 
und die letzteren n Complexe gehen durch eine Permutation a’ aus 
den ersteren hervor. Entspricht dem Elemente B von 9 die Per- 
mutation Ö, so entspricht dem Elemente AB die Permutation a’ 
