182 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 21. Februar. 
(vergl. Frartını, I gruppi transitivi di sostituzioni dell’ istesso ordine e 
grado, Memorie della Academia Reale dei Lincei, tom.XIV). Die gegen- 
seitige Beziehung dieser beiden Darstellungen ist leicht zu erkennen. 
Ersetzt man nämlich in (1.) jedes Element durch das reeiproke, so 
erhält man 
(7-) S= H76+ H76+-+ I'%6. 
Daher gehen die n Complexe (7.) durch eine gewisse Permutation r 
der Reihe nach in die n Complexe (5.) über. Die Permutation aber, 
welche die n Complexe (7.) in die n Complexe 
(8.) N A"H-6+4°"H26+---+4°H,6 
überführt, ist mit der Permutation a identisch, die (1.) in (2.) ver- 
wandelt. Denn ist GH,A= 6H,, so ergiebt sich daraus, indem man 
jedes Element durch das reeiproke ersetzt, A’H,'& = H;'6. Folg- 
lich ist ad — rar. 
Endlich kann man drittens folgendes Verfahren benutzen (Hör- 
per, Math. Ann. Bd. 40 S. 57): Sei © eine Untergruppe von 5 und 
seien 
(9.) H6H, ..: H,'6H, 
die n verschiedenen Gruppen, die mit & (in Bezug auf 5) conjugirt 
sind. Dann sind auch, wenn A irgend ein Element von 9 ist, 
(10.) ATH'6HA,--- A"H,'6H,A 
dieselben n Gruppen, nur in einer anderen Reihenfolge, und so ent- 
spricht dem Elemente A die Permutation a, die (9.) in (10.) überführt. 
Ist H2GH,—= H;'6H;, so ist &(H,H;') = (H,H;)6. Bilden also 
die mit & vertauschbaren Elemente von 9 die Gruppe © der Ord- 
nung g’, so gehört H,H;' der Gruppe © an; und umgekehrt, wenn 
H, und H, (mod. 6) aequivalent sind, so ist H,' 6H — H; 6H,. Daher 
sind A,---H, die sämmtlichen n = ® (mod. &) verschiedenen Elemente 
von 9, und es ist “ 
(11.) S=®H +--+ 6A. | 
Ist & eine der Zahlen 1,---n, so wird durch die Permutation a die 
Gruppe H,'6H, übergeführt in A’H,'6H,A = H; 6H,, wo auch £ 
eine der Zahlen 1,---2 ist, die auch gleich & sein kann. Dann ist 
6(H,AH;') = (H,AH;')®, mithin gehört H,AH;' der Gruppe © an, 
und folglich ist GH,A = Hz. Die Permutation a ist also mit der 
identisch, welche die n Complexe (11.) in die n Complexe 
12%) S=$HA+--+ HA 
verwandelt, und damit ist diese Darstellung auf die erste zurückgeführt. 
