Frosenius: Über endliche Gruppen. 183 
Die sämmtlichen Darstellungen von 9 als intransitive Gruppe von 
Permutationen erhält man auf folgende Art: Seien A, 8, €,--- mehrere 
Untergruppen von 9, die nicht alle verschieden zu sein brauchen. 
Dann ist 
S=-AH + +UAH,= BA, 4ı+ + BH,45 = CH. 4541 +: + CHayayy=-, 
also auch 
S—=AH +. +AH. + BA. ++ BHaya+ CHarapı + + CHarsry +, 
und wenn R irgend ein Element von 9 ist, 
B-UHR+- + UHR+BH, HR + + BH,yaR+ CHyonR+- + CHlyar,R+--- 
Die ersteren Complexe gehen durch eine Permutation r in die letzteren 
über, und zwar werden durch r nur die ersten & Complexe unter 
einander vertauscht, ebenso die folgenden 8, die folgenden y u. s. w. 
Sei N der grösste gemeinsame Divisor der Gruppen A,®,€,--- und 
aller mit ihnen (in Bezug auf 5) conjugirten Gruppen, oder die 
grösste in dem grössten gemeinsamen Divisor von A,8,€,--- ent- 
haltene Gruppe, die eine invariante Untergruppe von 5 ist. Dann 
ist die Gruppe der Permutation r der Gruppe R (holoedrisch) isomorph. 
S- 5. 
Unter den invarianten Untergruppen einer Gruppe 9 sind ge- 
wisse noch besonders hervorzuheben. Angenommen, es sei auf irgend 
eine Art eine allgemeinere Gruppe 5 gefunden, in der 5 als invariante 
Untergruppe enthalten ist. Ist R ein Element von 5, und ist A 
eine invariante Untergruppe von 9, so ist R’AR—® eine invariante 
Untergruppe von R 'SR=9. Es ist möglich, dass ® von X ver- 
schieden ist. Wenn aber für jedes Element R jeder möglichen er- 
weiterten Gruppe R'AR—=NX ist, so möge A eine charakteristische 
Untergruppe von 5) genannt werden. Ist ® eine invariante Unter- 
gruppe von €, und X eine charakteristische Untergruppe von B, so 
ist A auch eine invariante Untergruppe von C (vergl. Satz II., 8. 2). 
Hat 5 nur eine invariante Untergruppe der Ordnung g, so 
muss diese eine charakteristische sein. Der grösste gemeinsame Divisor 
oder das kleinste gemeinschaftliche Vielfache aller in 5 enthaltenen 
Gruppen der Ordnung g ist eine charakteristische Untergruppe von 9. 
Z.B. ist in $.3 die Gruppe D eine charakteristische Untergruppe 
von ®. Diejenigen Elemente von 9, die mit jedem Elemente von 9 
vertauschbar sind, bilden eine charakteristische Untergruppe von 9, 
ebenso die unter ihnen, deren Ordnung in g aufgeht. 
