184 Sitzung der physikalisch -mathematischen Classe vom 21. Februar. 
Man kann diese Untergruppen noch anders definiren: Sei n die 
Ördnung von 9, seien H,, H,, H,, --- H, die Elemente von 9 in einer 
gewissen Anordnung, und H,, H,;, H,,--- H, dieselben n Elemente in 
einer anderen Anordnung, und sei 
An (& IE 5 
NZ. 3285 =; 
die Permutation, welche die erste Anordnung in die zweite überführt. 
Ist diese Permutation so beschaffen, dass stets, wenn HH, = H, ist, 
auch H,H, = H, ist, so wird durch sie ein Isomorphismus der 
Gruppe in sich bewirkt (HöLver, Math. Ann. Bd. 43, S. 313). Ist 
z.B. R ein Element von 9 und 
ROHR NH. R H,n- no neHR— Eee 
so genügt diese Permutation der gestellten Bedingung. Man kann 
nun eine Untergruppe A von 9 auch dann eine charakteristische 
nennen, wenn bei jedem Isomorphismus von 5 in sich die Elemente 
von A wieder in die Elemente von WA übergehen. Ich werde aber 
beweisen, dass sich diese Definition vollständig mit der obigen deckt, 
indem ich zeige, wie man alle Isomorphismen von 5 in sich und 
alle charakteristischen Untergruppen von 9 findet. 
Ist A irgend ein Element von 9, so ist 
Se er: 
Nm A,BA. WA 
eine Permutation der » Symbole H,, H,,.-- H,. Entsprechen so den 
Elementen H,, H,,---H, die Permutationen A, A,,---A,, so bilden 
diese eine mit 5 (holoedrisch) isomorphe Gruppe bh. Die oben mit 
r bezeichnete Permutation, die einen Isomorphismus von 9 in sich 
bewirken soll, kann in dieser Gruppe b enthalten sein oder nicht. 
Sie möge das Element A von 5 in B überführen, und es sei 
= (5 El. 0::caEl, 
HB, H.B,--- H,B 
die dem Elemente B von 9 entsprechende Permutation von b. Nach 
der Definition des Isomorphismus führt dann r das Element HA in 
H,B, H,A in H,;B,.-- über, oder es ist 
ru 2% manlama 
"—(H,B,HaB,- H,B)' 
Daher ist 
3 AAENTENVE, ENTER. BAR HA 
v Se ler pin. = ER H,A, --- ne lee H;B,.--- El 
Ra: PR MER NNHER 
> (en H:B,.--- ne 7 e B,H,B, Be 
