Fropentvs: Über endliche Gruppen. 185 
also r'ar=b, folglich, wenn man der Reihe nach A=H,H,,:- H, 
setzt, 
TRhr =h,; r'h,r = ha, va) — N, 
Unter allen n! Permutationen der Symbole H,, H,,-- H, bilden 
die, welche mit der Gruppe bh vertauschbar sind, eine Gruppe h. 
Damit die Permutation r einen Isomorphismus von 5 in sich bewirke, 
ist also nothwendig, aber offenbar auch hinreichend, dass r der 
Gruppe bh angehöre. 
Den Elementen einer in 5 enthaltenen Gruppe A entsprechen 
die Permutationen einer in b enthaltenen Gruppe a. Damit A eine 
charakteristische Untergruppe von $ sei, ist nach den obigen Aus- 
führungen nothwendig und hinreichend, dass a eine invariante Unter- 
gruppe von h sei. Ist W=b, so wird jeder Isomorphismus von 9 
in sich durch eine Permutation 
ER WE 
ir Ir RHrR“. a) 
bewirkt, wo R ein Element von 9 ist. Damit aber 9 diese Eigen- 
schaft besitze, ist nicht erforderlich, dass / —=b sei, sondern dafür 
ist folgende Bedingung nothwendig und hinreichend: Bilden die 
Permutationen von bh, die mit jeder Permutation von bh vertauschbar 
sind, die Gruppe g, so muss / = gb das kleinste gemeinschaftliche 
Vielfache von g und bh sein. Von einer solchen Gruppe 9 ist jede 
invariante Untergruppe eine charakteristische. 
$. 6. 
Mit Hülfe der oben entwickelten Sätze kann man in vielen 
speciellen Fällen die Constitution einer Gruppe beschreiben, deren 
Ordnung in bestimmter Art aus Primfaetoren zusammengesetzt ist. 
I. Sind p und q zwei verschiedene Primzahlen, so ist jede Gruppe 5 
5 
rien. R PT TEN f SEAN IS 
der Ordnung p“g auflösbar. Sie ist zusammengesetzt aus einer Gruppe © 
die aus den Potenzen eines Elementes der Ordnung p“° besteht, einer 
Gruppe - der Ordnung g und einer Gruppe D der Ordnung p’. Die 
Gruppe _ der Ordnung p“°g, die eine invariante Untergruppe = der 
Ordnung q hat, lässt sich als transitive Gruppe von Permutationen von 
q Symbolen darstellen. 
E und D sind zwei charakteristische Untergruppen von 9. Die 
Gruppe & der Ordnung p’qg wird erzeugt von allen p’(g-1) Elementen 
von 9, deren Ordnung durch q theilbar ist. Die Gruppe D ist der grösste 
gemeinsame Divisor von allen in 5 enthaltenen Gruppen der Ordnung p“ 
