186 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 21. Februar. 
und zugleich, falls es mehrere giebt, der grösste gemeinsame Divisor von 
irgend zwei derselben. 
Bilden die Elemente von 9, welche mit einer Untergruppe DI der 
Ordnung q vertauschbar sind, die Gruppe S$, der Ordnung p“""q, so 
bilden die, welche mit jedem Elemente von D vertauschbar sind, eine Gruppe 
6, der Ordnung p°”g, die der grösste gemeinsame Divisor von & und 9, 
ist. Die Gruppe &, wird gebildet von den mit D vertauschbaren Elementen 
von C. Sie wird erzeugt von den p’*(g—1) Elementen von $,, deren 
Ordnung durch q theilbar ist. Ihre invariante Untergruppe D, der Ordnung 
p’’ ist der grösste gemeinsame Divisor von D und 9,. Umgekehrt ist 
D (und ebenso G) das kleinste gemeinschaftliche Vielfache aller mit D, 
(oder &,) conjugirten Gruppen. Ist A>0, so ist 
p*+g-1=0 (mod. p“°q), 122(a-0), 30> 2a, 
und zwar kann die Gleichheit nur dann eintrelen, wenn 
P=2, g=2°°41 
ist. 
Die p‘(g-1) Elemente von 9, deren Ordnung gleich q ist, zerfallen 
in (9-1): p“"° Classen von je p“*""° conjugirten Elementen und erzeugen 
eine in & enthaltene Gruppe X der Ordnung p*g. Sie enthält eine invariante 
Untergruppe M der Ordnung p*, die der grösste gemeinsame Divisor von 
D und List. 8 und M sind charakteristische Untergruppen von 9. 
Jede invariante Untergruppe von 9, deren Ordnung gleich p’q ist, ist 
durch M theilbar, und jede, deren Ordnung gleich p” ist, ist inD ent- 
halten. Ist y irgend eine Zahl zwischen & und u, so hat 5 eine invariante 
Untergruppe der Ordnung p’g. Das kleinste gemeinschaftliche Vielfache 
von M und 9, ist MS, — N 
Sei X eine in 9 enthaltene Gruppe der Ordnung p“. Ist A nicht 
eine invariante Untergruppe von 9, so enthält 5 q verschiedene 
Gruppen der Ordnung 9°. Unter diesen wähle man zwei so aus, dass 
die Ordnung p? ihres grössten gemeinsamen Divisors möglichst gross ist. 
Ist &—= 0, sind also je zwei jener q Gruppen theilerfremd, so 
enthält 5 genau (p“-1)g Elemente, deren Ordnung eine Potenz von 
p ist, und mithin nur q andere Elemente. Daher hat 9 eine in- 
variante Untergruppe C der Ordnung q. 
In jedem Falle bilden die mit D vertauschbaren Elemente von 
5 eine Gruppe D, deren Ordnung p°g durch g theilbar ist, da sie 
nach $. 3 nicht eine Potenz von p sein kann. Diese enthält mehr 
als eine Gruppe ® der Ordnung p°, also genau gq. Folglich giebt es 
in 5 genau q Gruppen A, die durch ® theilbar sind. Da aber 9 
nicht mehr als 9 Gruppen 4 der Ordnung p“* enthält, so ist D der 
grösste gemeinsame Divisor aller dieser Gruppen und zugleich, weil 
ö ein Maximum ist, der grösste gemeinsame Divisor von je zwei der- 
u 
