Frogenıus: Über endliche Gruppen. 187 
selben'. Der grösste gemeinsame Divisor D von allen mit A con- 
Jugirten Gruppen ist aber eine invariante Untergruppe von 9. Dem- 
nach ist ’ —=9 und ß=.a. 
5) I 
Die Gruppe D enthält die g Gruppen = der Ordnung p“°, von 
denen je zwei theilerfremd sind, hat also eine invariante Untergruppe 
= der Ordnung g. Folglich hat 5 eine invariante Untergruppe € 
2 = und ® zusammen- 
gesetzt. Da die Ordnungen p“°, q und p° dieser drei Gruppen Poten- 
zen von Primzahlen sind, so ist die Gruppe 9 auflösbar. 
Jede invariante Untergruppe von 5 =D, deren Ordnung eine 
Potenz von p ist, muss nach $. 3 ein Divisor von D sein; D ist die 
grösste invariante Untergruppe von 9, deren Ordnung eine Potenz von 
p ist, oder die in einer Gruppe A der Ordnung p“ enthalten ist... Daher 
S 
hat die Gruppe S der Ordnung p“’qg keine invariante Untergruppe, 
der Ordnung p’g und ist aus den Gruppen 
DJ 
deren Ordnung eine Potenz von p ist. Ihre Untergruppe = der 
5 
ist also durch keine invariante Untergruppe von 8 
Rp) 
theilbar. Nach $.4 lässt sich folglich = als transitive Gruppe von 
Permutationen von g Symbolen darstellen. Sie ist zusammengesetzt 
m&-° 
Ordnung p 
«6 
aus der Gruppe deren Ordnung p 
5 
und aus der invarianten Untergruppe D der Ordnung g. Nach den 
ein Divisor von g-l ist, 
bekannten Eigenschaften der auflösbaren Gruppen von Permutationen, 
deren Grad eine Primzahl g ist, besteht daher T aus den Potenzen 
eines Elementes der Ordnung p““°. Demnach giebt es in 9 ein Element, 
dessen Ordnung dureh p“° theilbar ist, und von dem erst die (p*®)“ 
Potenz in D enthalten ist. 
Die Gruppe € der Ordnung p’gq hat eine invariante Untergruppe 
D der Ordnung p°, enthält also nach I., $.2 genau p° Elemente, deren 
Ordnung in p’ aufgeht, und mithin p°(g—1) Elemente, deren Ordnung 
durch g theilbar ist. Da D der grösste gemeinsame Divisor von je 
zwei der g mit A conjugirten Gruppen ist, so enthält jede derselben 
! Daher zerfallen die Elemente von 5 (modd. X, X) in 1 Classen. Sie 
können repraesentirt werden durch das Hauptelement E und die Elemente 
? ee ee 
0 (=: 1, ala A). 
wo Q irgend ein Element der Ordnung g und g eine primitive Wurzel der Primzahl 
q ist. Die letzteren Elemente repraesentiren auch die (9-1) ig Classen conjugirter 
Elemente, in welche die in 5 enthaltenen Elemente der Ordnung g zerfallen. 
