188 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 21. Februar. 
pp’ Elemente, die in keiner der anderen und auch nicht in D vor- 
kommen. Daher giebt es in 5 (p“-p’)q Elemente, deren Ordnung in 
p“ aufgeht, und die nicht in D enthalten sind, also nur noch p’q 
andere Elemente, und diese bilden die Gruppe 6. Denn jedes Element 
von € ist entweder in ® enthalten, oder seine Ordnung ist durch gq 
theilbar. Folglich enthält C alle Elemente von 95, deren Ordnung 
dureh 9 theilbar ist, und die Anzahl derselben ist p’(g-1). Endlich 
ist C die von diesen Elementen erzeugte Gruppe. Denn diese ist ein 
Divisor von 6. Ist also ihre Ordnung, die durch 9 theilbar sein muss, 
p?g, so ist y<d. Sie enthält eine Untergruppe der Ordnung p?, also 
höchstens p”(g-1) Elemente, deren Ordnung durch g theilbar ist. 
Daher ist pX(g-1)>p’(g-1), y2d und folglich y= 2. 
Sei OD eine in 9 enthaltene Gruppe der Ordnung q. Die mit 
Q vertauschbaren Elemente von 5 bilden eine Gruppe 9, der Ord- 
nung qp“”. Hat D, und d, für 9, dieselbe Bedeutung, wie D und 
d für 5, so enthält 5, genau p°o(g-1) Elemente, deren Ordnung durch 
g theilbar ist. Die Anzahl der verschiedenen Gruppen Q oder der 
ihnen entsprechenden Gruppen 9, ist p’. Zwei verschiedene Gruppen 9, 
haben kein Element R gemeinsam, dessen Ordnung gr durch g theil- 
bar ist. Denn sonst hätten sie auch das Element R’= @ der ÖOrd- 
nung g gemeinsam, also auch die von den Potenzen von @ gebildete 
Gruppe DO. Jedes Element A der Ordnung gr gehört einer der 
Gruppen 9, an. Denn R ist mit k’=Q vertauschbar, also auch 
mit ©. Folglich giebt es in 5 genau p*p°«(g—1) Elemente, deren 
Ordnung durch q theilbar ist, und da deren Anzahl gleich p’(g-1) ist, 
so ist d, —d-71. Weil E alle Elemente von 5 enthält, deren Ord- 
nung durch g theilbar ist, so ist die Anzahl der mit Q conjugirten 
Gruppen in C gleich p*. Folglich bilden die mit Q vertauschbaren 
Elemente von € eine Gruppe €, der Ordnung p°g, die der grösste 
gemeinsame Divisor von C und 9, ist. Sie enthält alle Elemente 
von 9,, deren Ordnung durch q theilbar ist, steht also zu 9, in 
derselben Beziehung wie E zu 9. 
Die Gruppe €, der Ordnung p%g hat eine invariante Unter- 
gruppe D, der Ordnung p% und eine invariante Untergruppe Q der 
Ordnung g. Nach Satz VI., $.ı ist daher jedes Element von D,, 
also auch jedes von €, mit jedem Elemente Q von Q vertauschbar. 
Umgekehrt gehört der Gruppe 6, jedes Element R von 9 an, das 
mit einem in O enthaltenen Elemente Q der Ordnung g vertausch- 
bar ist. Denn zunächst ist A ein Element von 9, 
vertauschbar ist. Ist die Ordnung von R durch q theilbar, so gehört 
R auch der Gruppe C an, also auch dem grössten gemeinsamen 
Divisor €, von CE und 9,. Ist die Ordnung von R nicht durch q 
weil R mit D.: 
