Frosenius: Über endliche Gruppen. 189 
theilbar, so ist es die von QR, da R mit Q vertauschbar ist. Mit- 
hin gehört QR, also auch R, der Gruppe 6, an. Demnach besteht 
@, aus allen Elementen von 9, die mit Q vertauschbar sind. Ist 
aber in einer Gruppe 5 der Ordnung p“g die Anzahl der mit Q ver- 
tauschbaren Elemente gleich p°”q, so ist die Anzahl der mit Q (in 
Bezug auf 5) conjugirten Elemente gleich p°g:p*q = p“’*”. Die 
p’(g-1) Elemente von 9, deren Ordnung gleich g ist, zerfallen also 
in (9-1):p““® Classen von conjugirten Elementen. 
Nach Satz VII., 8.2 ist 
p* = 1(mod. g), g=l(mod. p*°). 
Ist A> 0, so ist folglich  >gqZp“ "+1, also A>«-0d. Nun ist —=1+gu, 
und v=-AI(mod. p“°), also v=-1+p“®v, wo v>1 ist, mithin 
pr-1= glp r-1)2(p’+1)(pr 1), 
folglich AZ %&-8) und 62?1224-2d. Die Gleichheit kann in diesen 
Relationen nur dann eintreten, wenn g=p“ °+l ist, also da g un- 
gerade ist, wenn p=2ist. Ist 3d<2«, so ist A=(0, also OD eine 
invariante Untergruppe von 9. 
Erzeugen die p*(g-1) Elemente von 9, deren Ordnung gleich gq 
ist, die Gruppe % der Ordnung p"g, so ist @ eine charakteristische 
Untergruppe von 9 und ein Divisor von €, also ist A<u<d. It M 
eine in % enthaltene Gruppe der Ordnung p“, so ist M auch in E 
enthalten, also nach I.,$. 2 auch in D, weil & nur diese eine Unter- 
gruppe der Ordnung p° hat. Daher ist M der grösste gemeinsame 
Divisor der beiden Gruppen ® und D, folglich ebenso wie diese, eine 
charakteristische Untergruppe von 9 und von %, also die einzige in 
% enthaltene Gruppe der Ordnung p“. Ist & eine invariante Unter- 
gruppe von 9, deren Ordnung p’q ist, so enthält & eine Gruppe Q 
der Ordnung g, daher auch alle mit O (in Bezug auf 5) conjugirten 
Gruppen und folglich deren kleinstes gemeinschaftliches Vielfache ®. 
S 
= 
Die Ordnung der Gruppe ist p“*., Liegt also y zwischen & und 
A, so enthält sie nach Satz VI, $. 2 (mindestens) eine invariante Unter- 
m 
gruppe e der Ordnung p? Daher hat 95 eine invariante Unter- 
gruppe der Ordnung p°g. Ist aber y<yu, so ist dies nicht der Fall, 
weil & durch ® theilbar ist. 
Nach Satz IX., $.2 ist das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von 
8 und 9, gleich 5 = %9,, und weil = MO und 09, = 9, ist, so ist 
H= MS, auch das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von M und 9.- 
Die Gruppe 9 kann nur dann g verschiedene Gruppen A ent- 
halten, wenn g==1 (mod. p) ist. Wenn g-1l nicht durch p theilbar 
ist, also immer, wenn g<p ist, muss D—N, ö—=x sein. Die obigen 
