190 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 21. Februar. 
Entwicklungen lassen sich fast ohne Änderung auf den Fall aus- 
dehnen, wo A= p“g? ist und q (mod. p) zum Exponenten ß gehört, 
und führen zu dem Satze: 
I. Sind p und q zwei verschiedene Primzahlen, und gehört q (mod. p) 
zum Exponenten ®, so ist jede Gruppe 5 der Ordnung p“g® auflösbar. 
Hat sie nicht eine invariante Untergruppe der Ordnung p“, so ist sie zu- 
5 C 
j 5 j n = ’ .d, 8 ; 
sammengesetzt aus einer Gruppe 5 der Ordnung p“", einer Gruppe S 
der Ordnung g’ und einer Gruppe D der Ordnung p’. Jedes Element der 
5 
Gruppe = hat die Ordnung q, und je zwei ihrer Elemente sind vertausch- 
bar. Die Gruppe 2 der Ordnung p“’g’, die eine invariante Untergruppe 
5 E 
= der Ordnung gq° hat, lässt sich als eine primitive Gruppe von Per- 
. 5 © 7 Y >) , 7 
mutationen von qg° Symbolen darstellen, die Gruppe 5 st einer homogenen 
linearen Gruppe der Dimension 8 mit dem Modul q isomorph. 
GC und D sind zwei charakteristische Untergruppen von 9: Die 
Gruppe & der Ordnung p’g’ wird erzeugt von allen p’ (g’—-1) Elementen von 
9, deren Ordnung durch q theilbar ist. Die Gruppe D ist der grösste gemein- 
same Divisor von irgend zwei in 9 enthaltenen Gruppen der Ordnung p*. 
Bilden die Elemente von 9, welche mit einer Untergruppe I der 
Ordnung g° vertauschbar sind, die Gruppe $,, und die, welche mit jedem 
Elemente von D vertauschbar sind, die Gruppe &,, so ist C&, der grösste 
gemeinsame Divisor von & und 9,: 
Denn die Anzahl der in 5 enthaltenen Gruppen A der Ordnung 
p“ ist gleich 1 oder g°, weil es keinen anderen Divisor von g° giebt, der 
=] (mod. p) ist. Enthält D’ im letzteren Falle 9° Gruppen B, so ist ?> 0 
und X=1 (mod. p), also =. und daraus folgt wie oben, das V’—-$ 
ist. Ebenso erkennt man, dass 5 keine Untergruppe der Ordnung p*q 
hat, wo 0<><P ist, da auch in dieser W=NX und =1 (mod.p) 
wäre. Daher hat 5 auch keine invariante Untergruppe R der Ordnung 
7 (0<p<P), da sonst AR eine Untergruppe der Ordnung p“g? wäre. 
Ist $—= 0, sind also je zwei der g° Untergruppen A theilerfremd, 
so enthält $ eine invariante Untergruppe € der Ordnung g°. Da- 
gegen hat 5 keine invariante Untergruppe, deren Ordnung eine Potenz 
von p ist, da jede solche ein Divisor von D ist. Weil aber die Ord- 
nung von € eine Potenz einer Primzahl ist, so bilden die Elemente 
von €, deren Ordnung gleich q ist, und die mit jedem Elemente von 
G vertauschbar sind, eine Gruppe R der Ordnung 4, wo p>0 ist. 
Da R eine charakteristische Untergruppe von € ist, und € eine in- 
variante Untergruppe von 9 ist, so ist N auch eine invariante Unter- 
gruppe von 5. Folglich ist o=® und R=€. Es ist also € eine 
Gruppe vertauschbarer Elemente der Ordnung q. 
