Frosenıus: Über endliche Gruppen. 191 
Eine in 5 enthaltene Gruppe A der Ordnung p“ enthält keine 
invariante Untergruppe von 9. Mit Hülfe von 4 lässt sich daher 9 
als transitive Gruppe von Permutationen von g° Symbolen darstellen, 
und diese Gruppe ist primitiv, weil 5 keine Untergruppe der Ord- 
nung p“g hat. Aus den bekannten Eigenschaften einer primitiven 
auflösbaren Gruppe vom Grade g? ergiebt sich nieht nur das eben 
erhaltene Ergebniss über die Constitution der Gruppe @, sondern auch 
! = ; & AR) 
die Darstellung von 5 durch nicht homogene und die von C durch 
homogene lineare Substitutionen von 8 Unbestimmten, deren Coeffi- 
cienten nach dem Modul 9 genommene ganze Zahlen sind. 
Br Bier 5: ; 
Ist ö beliebig, aber <«, so sind in der Gruppe ad je zwei Unter- 
gruppen der Ordnung p“° theilerfremd. Alle Sätze, die im Falle 
d— 0 über die Gruppen 9 und & bewiesen sind, gelten daher im 
und — Auf demselben Wege 
aa 
allgemeinen Falle von den Gruppen 
gelangt man endlich noch zu dem Satze: 
II. Ist n nicht durch die Primzahl p theilbar, und ist kein Divisor 
von n congruent \(mod.p), ausser 1 und n selbst, so hat eine Gruppe 9 
der Ordnung pn eine invariante Untergruppe D der Ordnung p’, die der 
grösste gemeinsame Divisor von irgend zwei in 9 enthaltenen Gruppen der 
Ordnung p* ist. 
Hat 9 nicht eine inwariante Untergruppe der Ordnung p“, so lässt 
wi) 
D 
bolen darstellen. Ist n durch mehr als eine Primzahl theilbar, so ist 9 
sich die Gruppe als primitive Gruppe von Permutationen von n Sym- 
nicht auflösbar. 
Denn die Anzahl der in 9 enthaltenen Gruppen X der Ordnung 
p“ ist gleich n, und 5 hat keine Untergruppe der Ordnung p“m, wo 
l<m<n ist (und auch keine Untergruppe der Ordnung p’m, wo 
d<B<a und I<m<n, und m ein Divisor von n ist). Daher hat 
9 auch keine invariante Untergruppe der Ordnung m, wo m ein 
echter Theiler von » ist. Ist d=0, also n=1 (mod. p*), so hat 9 
auch keine invariante Untergruppe, deren Ordnung eine Potenz von 
p ist. Nun hat aber jede auflösbare Gruppe eine Untergruppe, deren 
Ordnung eine Potenz einer Primzahl ist (vergl. Satz IV.). Ist also n 
nicht eine Potenz einer Primzahl, so kann 9 nicht auflösbar sein. 
Zu demselben Ergebniss gelangt man mit Hülfe des von Aser (Oeuvres 
eompl. II. p. 222, prop. 3) gefundenen Satzes, dass eine auflösbare 
Gruppe von Permutationen nur dann primitiv sein kann, wenn ihr 
Grad eine Potenz einer Primzahl ist. Ist ö beliebig, aber <a, so ist 
s en = 
demnach = nicht auflösbar, also auch 9 selbst. 
Sitzungsberichte 1895. 15 
