192 Sitzung der physikalisch- mathematischen Classe vom 21. Februar. 
Um eine schärfere Einsicht in den Gang der obigen Entwicklungen 
zu gewähren, füge ich noch folgende Bemerkung hinzu: 
IV. Ist p“ die höchste Potenz der Primzahl p, die in der Ordnung 
einer Gruppe 9 aufgeht, und ist für jede Primzahl p der grösste gemein- 
same Divisor aller in 9 enthaltenen Ga der Ordnung p“ die Haupt- 
gruppe, so ist 9 nicht auflösbar. 
Sei N eine von der Hauptgruppe verschiedene invariante Unter- 
gruppe von 9, die keine invariante Untergruppe von 9 enthält, ausser 
der Hauptgruppe und der Gruppe WR selbst. Ist dann % auflösbar, 
so ist die Ordnung von R eine Potenz einer Primzahl. etwa p‘, 
p>0 ist. Sei p“ die höchste Potenz von p, die in % aufgeht, und 
A eine in 5 enthaltene Gruppe der Ordnung p“. Dann ist jede mit 
A conjugirte Gruppe, also jede in 5 enthaltene Gruppe der Ordnung 
p“ durch W theilhar, mithin auch der grösste gemeinsame Divisor D 
jener Gruppen. Folglich ist D von der Hauptgruppe verschieden. 
$- 7- 
Den oben bewiesenen Satz kann man so verallgemeinern: 
Sind p und g zwei verschiedene Primzahlen, ist m durch kein (Quadrat 
und ma(m) weder durch p noch durch q theilbar, so ist jede Gruppe © der 
Ordnung s = mp*g auflösbar und enthält eine invariante Untergruppe 9 der 
Ordnung p“g, und entweder nur eine oder g Untergruppen der Ordnung p“. 
Ist r irgend ein Divisor von s, der zu — theilerfremd ist, so hat 
© eine Untergruppe der Ordmung r. ö 
Die zu 9 gehörigen Gruppen 6 und D sind auch charakteristische 
Untergruppen von ©. 
Die Elemente von ©, die mit einer Untergruppe der Ordnung p“ ver- 
tauschbar sind, bilden eine Gruppe der Ordnung mp“ oder mp°g; die Ele- 
mente von ©, die mit einer Untergruppe der Ordnung g vertauschbar 
sind, bilden eine Gruppe der Ordnung mp“ "q 
Ist m=p,p,'''p,, so sind die Primzahlen p ,P,,'''p,, p und q 
alle unter einander verschieden, und keine der Zahlen p, -1, p,-1,.-p,—1 
ist durch p oder g theilbar. In meiner Arbeit Über auflösbare Gruppen, 
Sitzungsber. 1893, deren Resultate ich im Folgenden mehrfach gebrauche, 
habe ich gezeigt, dass eine Gruppe © von solcher Ordnung genau 
p“g Elemente enthält, deren Ordnung in p“q aufgeht. Es ist zu be- 
weisen, dass diese eine Gruppe 9 bilden. Dann ist $ eine in- 
variante Untergruppe von ©. Ich setze voraus, dass dieser Satz 
schon bewiesen sei für Gruppen, deren Ordnung ein echter 'Theiler 
von s ist. Jeder Divisor von s ist nämlich eine Zahl derselben Form 
wie s. Um dies einzusehen, braucht man nur die Primfactoren von 
