Frogenius: Über endliche Gruppen. 193 
m so zu ordnen, dass p <p,<:-<p, ist, oder allgemeiner so, dass 
m nt . . 
p 1 und we: und Fr, u. s. w. theilerfremd sind. 
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Sei A eine in © enthaltene Gruppe der Ordnung p“. Die mit 
A vertauschbaren Elemente von © bilden eine Gruppe W der Ord- 
nung a’— ap“ oder ap“q, wo a ein Divisor von m ist. Im letzteren 
Falle hat 
gruppe 5 der Ordnung p“q. Diese ist eine invariante Untergruppe 
von 5 und enthält als Untergruppe von W eine invariante Unter- 
gruppe A der Ordnung p“. Folglich ist A nach II., &.2 auch eine 
invariante Untergruppe von ©, und es giebt in © nur eine Unter- 
gruppe X. Daher ist a —=s und a=m. 
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1, . ‚ 
yy ine Untergruppe der Ordnung g, also hat W eine Unter- 
x 
n s . - 
Ist a’ = ap“, so enthält © genau m also mindestens 9 Gruppen 
A der Ordnung p*. Unter diesen wähle man zwei so aus, dass die 
Ordnung p° ihres grössten gemeinsamen Divisors D möglichst gross ist. 
Ist d= 0, sind also je zwei jener Gruppen A theilerfremd,' so 
enthalten sie, da ihre Anzahl >g ist, zusammen mindestens (p“-1)g 
Elemente, deren Ordnung in p* aufgeht. Daher enthält © höchstens 
q Elemente der Ordnung g, hat also eine invariante Untergruppe O 
der Ordnung g, und enthält auch nieht mehr als q Gruppen A, so 
© 
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dass a= m ist. Die Gruppe der Ordnung mp“ hat eine invariante 
Untergruppe © der Ordnung p*, und mithin hat © selbst eine in- 
variante Untergruppe 5 der Ordnung p*q. 
Sei nun d>0. Die mit D vertauschbaren Elemente von © 
bilden eine Gruppe D’ der Ordnung d’ — bp? oder bp°g. wo b ein 
Divisor von m ist. Diese enthält nieht eine invariante Untergruppe ® 
der Ordnung p?, und daher kann nicht d’ — bp? sein. 
Die Ordnung bp?”’q der Gruppe & ist ein echter Theiler von s. 
Sie hat daher eine invariante Untergruppe der Ordnung p?’g, und 
folglich hat D’ eine invariante Untergruppe 5 der Ordnung p’g. Diese 
hat nicht eine invariante Untergruppe ® der Ordnung p°, weil sonst 
® nach I., $.2 eine invariante Untergruppe von ® wäre. Mithin 
enthält 9 g verschiedene Gruppen ®, und D’ ebenso viele, weil alle 
Elemente von ®‘, deren Ordnung in p°g aufgeht, in 5 enthalten 
sind. Folglich giebt es in © genau g Gruppen A der Ordnung p*, 
die durch D theilbar sind, und D ist auch der grösste gemeinsame 
Divisor von je zwei jener qg Gruppen. Daher enthalten sie zusammen 
(p‘*-p’)g Elemente, die nicht der Gruppe D angehören. Da D auch 
der grösste gemeinsame Divisor von je zwei der q Gruppen ® ist, 
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