194 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 21. Februar. 
so hat 9 eine invariante Untergruppe € der Ordnung p’g, welche 
die invariante Untergruppe D enthält und ausserdem noch p’(g-1) 
Elemente, deren Ordnung durch q theilbar ist. Mithin sind die p’q 
Elemente der Gruppe € verschieden von den oben definirten (p*—p’)q 
Elementen, deren Ordnung in p“ aufgeht, und bilden mit ihnen zu- 
sammen die sämmtlichen p“g Elemente von ©, deren Ordnung in p“q 
aufgeht. Folglich giebt es in © nicht mehr als jene p’(g—1) Ele- 
mente, deren Ordnung durch g theilbar ist und in p“g aufgeht. Die 
von diesen erzeugte Gruppe 6 ist demnach eine invariante Unter- 
gruppe von © und ebenso nach I.,$.2 die Gruppe ®. Mithin ist 
Dr eu 2,06 sb an. 
Die Gruppe 5 der Ordnung p“g enthält alle Elemente von ©, 
deren Ordnung in p“g aufgeht, ‚also alle Untergruppen A der Ordnung 
p“. Daher giebt es in © genau g Gruppen 4, und es ist 
Ss 
d=— — mp“. 
9 
Ebenso enthält 5 alle Elemente von ©, deren Ordnung gleich q ist, 
mithin alle Untergruppen Q der Ordnung g. Ihre Anzahl ist also ein 
Divisor von p“, etwa p’. Bilden folglich die mit Q vertauschbaren Ele- 
mente von © eine Gruppe © , so ist deren Ordnung s, = mp*”q. 
0 
Ist r ein Divisor von s, der zu Bi theilerfremd ist, so enthält 
© mindestens eine Untergruppe der Ordnung r: Ich setze voraus, dass 
auch dieser Satz schon für alle Gruppen bewiesen ist, deren Ordnung 
ein echter Theiler yon s ist. Sei p <p,<--<p. 
Ist r nicht durch 9 theilbar, so sei p, die letzte der Zahlen 
P>P,;'p, und P9,4,=Pp*, die in r aufgeht, und VW eine in © ent- 
haltene Gruppe der Ordnung p,. Die mit W vertauschbaren Elemente 
von © bilden eine Gruppe W, deren Ordnung nach der oben eitirten 
Arbeit durch p,P,:-p, theilbar, also gleich p,p,'--p, € ist. Di: der 
gemachten Voraussetzung enthält = eine Gruppe der Or dnung ‚ also 
‘W eine Gruppe der Ordnung r. = 
Ist r durch p“g theilbar, so enthält < 
also © eine Gruppe der Ordnung r. 
Ist endlich r durch g, aber nicht durch p theilbar, so enthält 
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e3 
0 
NEN DS x : R 
die Gruppe n’, eine Gruppe der Ordnung 7 also ©, eine Gruppe 
der Ordnung r. 
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