47 



Zur Theorie der Abel'schen Functionen. 



Von L. Fuchs. 



1/io gegenwärtige Notiz knüpft an eine Untersuchung an , welche ich 

 in den Sitzungsberichten der Akademie vom Jahre 1888 über die 

 Periodieitätsnioduhi der hyperelliptischen Integrale angestellt habe. 

 Bilden .y, ,y, , ... /_/,,, ein Fundanienta.l.sy.stem von Lösungen der Diffe- 

 rentialgleichung ((J.), welcher die Periodicitätsmoduln eines Integrals 

 erster Gattinig als Functionen eines Verzweigungswerthes x genügen, 

 und sind y,'. //, . . . 1/',^, die Ableitungen derselben nach x, alsdann 

 sind die Functionen y^ ;y/ — i/i y/ Lösungen einer Differentialgleichung 

 p(2'p — I )''■"' Ordnung (H.), Avelche wir nach einer .später eingeführten 

 Bezeichnungsweise' die 2|> — 2''' Associirte der Gleichung (G.) nennen 

 wollen. 



In der oben bezeichneten Untersucliung führte ich für den Fall 

 der ultraelliptischen Integrale {p ■= 2) aus, dass die Gleichung (H.), 

 welche in diesem Falle sechster Ordnung wii'd, reductibel sein muss, 

 indem ich unter Zuhülfenahme der Sul)stitutionsgruppe der Gleichung (G.) 

 nachwies, dass die Gleichung (H.) eine rationale Lösung besitzt^. 



Später ist für die allgemeinen hyperelliptischen Integrale erster 

 Gattung derselben Satz bewiesen worden^, indem ebenfalls durch An- 

 wendung der von mir* aufgestellten Substitutionsgruppe der Gleichung 

 (G.) die Existenz einer rationalen Lösung der 2p — 2*''" Associirten der 

 Gleichung (G.) erhärtet wird^. Daselbst" v^^ird überdies der explicile 

 Ausdruck dieser rationalen Function entwickelt. 



In meiner oben erwähnten Untersucluuig habe ich weiter für p = 2 

 ausgeführt, dass die Reductibilität der genannten Associirten die 



' L. Schlesinger, Ilandlmrli dci- 'riieorie der liiic-ncii Dill'ci-i'nti.-ilnliMfhiingeii. 

 2.Tlieil, S. 127, Leipzig 1897. 



^ Vergl. Sitzungsberichte 1888 8. 7i3fl'. 



' Von meinem Sohne Ruhard, in seiner im ('i;i:i.i,i;"Ncheii .Iduni.'il, Bd. 119, 

 .iligedruckten Inaiigiiraldissertatiün, welclie ich im Folgenden mit R. F. bczeicinien werde. 



■* Crelle's Journal, Bd. 71, S. looiF. 



5 R. F. S. 4-7. 



« R. F. S. 7-12. 



