FrcHs: Zur Theorie der ABEL'sclien Functionen. 481 



Nun ist' 



/ 3(A,u) 



\ dx 



(Ct.) < 3(A, n — I 



= (Ä+ K n)—S^ ,S„(A, 



f {ix,}.) = -(K,iu); (A,Ä) = 0. 



Diircli Vergleicliinig der Systeme (C,.) und (G.) ergieljt sich also: 



I. Die Gleichungen (C,.) Ijesitzen die Particularlösnng 



(H.) i;, = {k- 1,1-1), 



welche von der Wahl des Fundamentalsy stenis von Lösungen 

 ^11 5^21 ) • • • y«i <lcr Gleichung (D,.) unabhängig ist. 



Die Grössen (A , jjl) sind nach den Gleichungen (F.) algebraische 

 Functionen von .c, während die Grössen /S^. nach den Gleichungen (E.) 

 zu demselben Rationalitätsbereiche wie (Ä , jx) gehören. 



Die Anzahl der in den Gleichungen (Cj.) auftretenden verschie- 

 denen Grössen % ist 



(2.) (T = =z2)(2p — l). 



Aus denselben Gleichungen folgt durch Dift'erentiation nach x 



{"» 

 wo A/^-i mit ß/, zu demselben Rationalitätsberoich gehörige algebraische 



Functionen von x sind. Wird successive m = i , 2 , . . . <t gesetzt, und 



aus den entstehenden Gleichungen alle v^.i mit Ausnahme von v^t, eli- 



minirt, so ergiebt sich für ü„s eine Difi'erentialgleichung 



ox- CX' 



(«3) 



deren Coefficienten P^, mit ß^. zu demselben Rationalitätsbereich gehören. 

 Aus I folgt nunmehr: 



II. Jede der Differentialgleichungen (J.) besitzt je ein 

 algebraisches Integral v„i = {a — i , /S — i), welches mit ,lc^., also 



mit Pi- zu demselben Rationalitätsbereich gehört, jede dieser 

 Differentialgleichungen ist also reductibel. 



Die in der Einleitung definirte Associirte n — 2'" Ordnung unserer 

 Dift'erentialgleichung (D^.) wird aus (J.) fiir ä := i , ;3 ^ 2 erhalten: 



' A. a. (). S. 614 Gleicliunn- (2.); S. 615 Gleiflnniii (6.); S. 614 Gleicliunif 16 und 

 Gli'ioliuiiii' 16". 



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