FiTHs: Zur Tlienrie der AüEL'schen Fiinftumcii. 4o.') 



der Periodicitcätsmodiün der hyperelliptisclien Integrale gehörigen Asso- 

 ciirten auf die Associirten derjenigen Differentialgieiehungen , welclien 

 die Periodicitätsmoduln der allgemeinen AßEL'schen Integrale genügen. 

 Der Beweis dieser Sätze ist ohne Zuhülfenahme der Gruppe der 

 Dift'erentialgleichung der Periodicitätsmoduln erbracht, indem direct 

 aus der Gestalt der Associirten die rationalen Lösungen, welche den- 

 sell:)en genügen, hergestellt wurden. 



3. 



In meiner erwähnten Notiz ' habe ich liereits darauf hingewiesen, 

 dass die von Weierstrass zuerst hergeleiteten Relationen zwischen 

 den Periodicitätsmoduln der hyperelliptischen Integrale unmittelbare 

 Folgerungen sind aus der Reductibilität der Associirten 2p — 2*''' Ord- 

 nung der Differentialgleichung, welcher die Periodicitätsmoduln ge- 

 nügen. Die Rechnung findet sich daselbst" für die idtraelliptischen 

 Integrale ausgeführt. Später ist dieselbe für die hyperelliptischen 

 Integrale ül)erhaupt ausgeführt worden". 



Wir wollen nimmehr zeigen, dass die in der Theorie der 

 allgemeinen AsEL'schen Integrale von Riemann hergeleiteten 

 Relationen zwischen den Periodicitätsmoduln der Integrale 

 erster und zweiter Gattung ebenso unmittelbare Folgerungen 

 der in der vorigen Nummer gegebenen Reductibilitätssätze 

 I und II darstellen. 



Die RiEMANN"schen Relationen lassen sich nämlich in die folgende 

 Form bringen: 



Ist ^, , 1^, , . . . <^2^ ein Fundamentalsystem von AßEL'schen Integralen, 

 welche nirgendwo in der RiEJiANN'schen Fläche logarithmisch unendlich 

 werden,* so kann man ein Periodensystem ^1^., , i?^., {K^ 1,2 , . . . p) 

 von ^/, so wählen, dass 



dz 



für A' = I , 2 , . . . 2;; , / = I , 2 , . . . 2;} . T 



Wir wollen nun zunächst zeigen: 

 (S.) Wenn die Gleichung (L.) für ein beliebig gewähltes 

 Fundamentalsystem <^*x°' , ^1°' , • • . ^2^' erfüllt ist, dieselbe Glei- 



(L.) X(^^>.^'>. - A'.^^-'.) =2 Re^^ ^i- 



' SitzungsberichtL- 1888 S. 714—717. 



2 .\. a. 0. S. 717. 



ä Vergl. R. F. S. 12-17. 



* Vera!. Sitzungsberichte 1897 S. 612. 



^ ^'ergl. Appell et GorRSAT. Fonctions aliiel)i'ii|ues etc. ji.142. 143. 



