Fuchs: Zur Theorie der AbelVcIicii Functionen. 485 



zaliligen Coefficienten über. Andererseits bleibt der Ausdruck (Ä. u) 

 seiner Bedeutung nacli bei demselben Umlaufe von x imgeändei't. Da 



aber z% ein Fundamentalsystem der Gleichungen (C^.) darstellt, so er- 

 giebt die Gleichsetzung des Ausdruckes der linken Seite der Gleichung ( 5 .) 

 vor und nach dem Umlaufe von x für die Grössen S, , ^^ , . . . ^^ ein 

 Sy.stem linearer Gleichungen mit ganzzahligen Coefficienten. Es sind 



daher -r- , -^ , . . . ~ rationale Zahlen. 



Sei 



(^\ _ £3 <^\ _ £3 S^ __ s^ 



(Ö.) -y- , -s^- ) • • • "^ 5 



Ö, £j 0, £j d, £j 



wo £, , £2 , . . . £. ganze Zahlen sind , von der Beschaffenheit , dass sie nicht 

 sämmtlich denselben Theiler haben. Es ist also 



6\ = /■£, , (J, :=■ re^ . . . . ^. = re. . 

 Nehmen wir ^ = r, so erhält die Gleichung (5.) die Form 



(12) (13) (n-ln) 



(7.) e,u^i + s,u,i+... + EAt,, = —(k—\,l—i). 



Auf l)ekannte Weise' lässt sicli nun zeigen, dass das Perioden- 

 system ijy so gewählt werden kann, dass die Gleichung (7.) wii'd 



(12) (.3) («-I«) 



( S .) u,,i + u,,i + . . . + thi = —[k—\,l—i). 



Setzen wir 



(9.) ^(c. = j,^., = 3^,...^(o) = 9r;i[ 



vx ox 



und bezeichnen mit A^.-,,B,;.^{k = i,2,...p) dasjenige Periodensystem 



(«5) 



von ^^^\ für welches die Gleichung (8.) statt hat, so ei-hält ii^-i die Form: 



(«3) 



Ukl = A>.S,>. — Äi,B;^, ,'A=\,2,...p. 



Ferner ist 

 (k- 1,1-1) =;^Res ^-^ ^^-^ =]^Res 



3x*~' 8.c'~' ^ ' BcVda:*' 



=2Resa-f 



Die Gleichung (8.) wird daher 



(10.) x^^"-'^'>- - ^"■^^-) =^^^^^^ ^ ■ 



' Vergl. die auf die Peiiodicitätsmoduln der Integrale erster Gattung bezüglichen 

 Sätze von Clebsch und Gordan (Abki/scIic Functionen § 29), Sätze, welche ihre Gültig- 

 ki>it liehalten tVn- nicht logarithmiscli unendlich werdende Integrale üherliaupt. 



