KüENiGSBERGEu: LAGRAXGE'sclie Gli'icluingen f. Kräfte verschied. Ordnung. 49.) 



öp^ dt op, dt op, 

 führt, worin ^ eine beliebig vorgelegte Function von p^ be- 

 deutet, (lurcli die in p, und p^ identisclie Gleichung darge- 

 stellt ist 



8/; _ a/; _ ^ dj^ 



worin <i eine Constante bedeutet, und zwar lautet dann das 

 von p[ unabhängige kinetische Potential 



(4) ^3 = <" I f(lp2 — ('■ I (./"■)+ I ^ dp'^ dp^ + acp,i\ 4- />/;," — ( ''^dp, , 



worin c und ?^ willkürliche Constanten darstellen und 



Pi= (piP.^p'^) 

 die inverse Function der zweiten gegebenen Differential- 

 gleichung ist. 



Haben die 1)eiden Bewegungsgleichungen die Form 



„_ ar „_ du 



dp, ' ^ dp, 



so wird f die Gestalt annehmen 



r = w,{p^ -h /i,;^,) + ct)3(jo, + k,p,) , 



worin uj, und w, willkürliehe Functionen bedeuten und h\ , l\ die Lö- 

 sungen der Gleichung 



k' H- 2 r/A- = I 



sind, ausser wenn o ^ ± /, in welchem Falle U durch 



r = wjp^ =j= ip^) +p, w, (^J, zj= «pj 

 dargestellt wird. 



So wird sich z. B. für einen Punkt, der gezwungen ist, sich auf 

 einer Ebene 



z = ax +by + 



zu bewegen, und von einer Kraft beeintlusst wird, welche die Kräfte- 

 function U besitzt , dann und nur dann aus den Bewegungsgleichungen 

 in X und y durch Elimination einer Variabein eine erweiterte L.\graxge- 

 sche Gleichung mit einem kinetischen Potential zweiter Ordnung in 

 der anderen Variabein ergeben , wenn die Kräftefunction nach der 

 Elimination von z die Form annimmt 



( U) =z u),{y i + a^ -x + y i + b'' •y] + w^\y i + a^ ' x—]U + h^ 'y]. 

 worin w, und w, beliebige Functionen bedeuten, also, w^enn der Punkt 

 nacli einem festen Punkt mit einer von der Entfernung abhängigen 



