Frobenuis: Über Gruppencharaktere. 50H 



WO P die Elemente der p""" Classe durchläuft, die in ® enthalten sind. 

 Setzt man •^/(Ä) = 0, wenn R nicht in ® enthalten ist, so kann man 

 für P auch alle mit R conjugirten Elemente von ip setzen. Bei dieser 

 Festsetzung ist aber besonders darauf zu achten, dass die Gleichung (3.) 

 nur für die Elemente P gilt, die der Gruppe ® angeliören. 



Wenn die k Charaktere ■4/^"'^ einer Untergruppe ® bekannt sind, 

 so besteht die neue Eigenschaft der / Charaktere %^^\ welche die 

 Gleichungen (3.), (4.) und (5.) in drei verschiedenen, aber aetjuivalenten 

 Formen ausdrücken, darin, dass 



(4^) ^^^p{P-^)x{P) = r 



ff P 



eine positive ganze Zald ist. 



Für einen bestimmten Werth von A sind die k Zahlen ?'^, , und 

 für einen bestimmten Werth von jc die l Zahlen i\^ nicht sämmtlich 

 Null. Dies ergiebt sich aus der Gleichung (2.) in Verbindung mit 

 der Relation (i.). 



Ist (0) die Hauptclasse, so erhält man, wenn man in (3.) und (5.) 

 P ^^ R = E setzt , die Gleichungen 



(6.) 2 r„, ..=/,, i,v,/,= A,^, 



die sich auch unmittelbar aus (2.) und (i.) ergeben. Mithin ist 



(7-) e^K,^/x, »Vx^/x. 



Wählt man für den Hauptcharakter den Index , so ist 



(8.) roo = 1 , r^o = , ("> 0) 



und, wenn man r^.^ = r,^ setzt, 



(9-) Xff,x';' = gr,, -.,xf'=^^ 



wo (j^ die Anzahl der Elemente in der p''"' Classe von ö bezeichnet, 

 die der Gruppe ® angehören. 



Da die Werthe der Charaktere ganze algebraische Zahlen sind, 

 so ist der letzten Formel zufolge hg^ durch g/i^ theilbar. Diesen Satz 

 kann man leicht direct beweisen: Durchläuft H die h Elemente von §, 

 und ist i^ ein bestimmtes Element der p'™ Classe, so sind die h Ele- 

 mente H~^RH die h^ verschiedenen Elemente der p'™ Classe, jedes 



j- Mal gezählt. In § giebt es daher g^j- verschiedene Elemente H 



der Art, dass H'^RH in ® enthalten ist. Sei 5R der Complex dieser 

 Elemente H. Ist A~^ RA in ® enthalten, und ist G ein Element von 

 ©, so ist auch 



G-'{Ä-'BA)G = {AG)-'R{AG) 



