504 Gi'saiiiintsitzung vom 14. Juli. 



in ® eiitlialteii. Ist also A ein Element von SH, so gehören auch 

 alle Elemente des ('omplexes A® dem Complexe 9{ an. Folglich zer- 

 fällt 9t in eine Anzahl (Komplexe A® + B% + C® + • • • , von denen je 



zwei theilerfremd sind. Mithin ist die Ordnung ' von 9{ durch y 

 th(>ill)ar. Die Zahl y giebt an, wie viele unter den n Comi^lexen 



(lo.) A@ + ^,®+ ■•■ +/1,,-,® = $ 



der Bedingung .^4^® = RA^% genügen. 

 Nach Formel (3.) ist 



P a.H P 



und mithin 



(II.) 2xW(P-')xW(P)=^5r.,r«„, 



P X 



wo P nur die Elemente von ® durchläuft, oder 



(12.) -6'eXf' x|"' = $'-'-«x»-»„. 



Nun ist aber, wenn 7? alle Elemente von i) durcldäuft, 



2x'"(-??"')x'"(^) = l>- 



R 



Da 7j(-R) und %(R~^) conjugirte complexe Grössen sind, so ist ihr 

 Product eine reelle positive Grösse. Mithin ist 



(I3-) 7''»'^=7- 



Setzt man aber in (i i.) />i =; A und summirt dann nach A, so er- 

 hält man 



wo rechts über die l Classen von § ^-u svmimiren ist. Mit g multipli- 

 cirt ist diese Zahl gleich der Anzahl der Lösungen der Gleichung 

 QR = RQ, falls Q die g p]lemente von @, und 7^ die h Elemente von S^ 

 durchläuft. 



Sind ® und ®' zwei Untergru2)pen von S2>, so mögen die Zahl(Mi, 

 die für die Gruppe ® mit ff,g,,}\>. bezeichnet Avorden sind, für die 

 Gruppe ®' mit g',g',,r'^-^ bezeichnet werden. Dann ist nach (2.) 



g^ % nr'^ = X g^g', \X x^xl'')- 



Die letzte nach A genommene Summe ist Null, ausser wenn (0") := (/j) 

 ist, dann aber gleich^ . Mithin ist 



