Frobenius: Über Gi-uppi'iu'haiaktere. 505 



^/S^vl^A^x" 



In meiner Arbeit LJber die Conyruenz nach einem aus zwei endlichen 

 Gruppen gebildeten Doppelmodul, Crelle's Journal Bd. loi, habe ich § 2, 

 (8.) für die Anzahl (5:®,®') der Classen, worin die Elemente von 

 § nach dem Doppelmodul (® , ®') zerfallen , die Relation aufgestellt 



(15.) ^(r^:®,®')=2^f'- 



Daraus ergiebt sich die Formel 



(16.) 2r,r;^(.?i:®,®'), 2r^ = (5:@,@). 



Setzt man alle Variabelen o;^ = , deren Index R nicht in ®' 

 enthalten ist, so enthält 4>^ den Factor J'o ''''. Ist ®' eine Untergruppe 

 von ®, so kann man jene Werthe in dem Ausdruck (2.) von *, ein- 

 setzen, dann geht 4'„'^ in *„ *" über. Folglich ist 

 (17.) ^^'■x, wenn ®'<® 



ist, d. h. wenn ®' in ® enthalten ist. 



Ist^<A, so giebt es in ^ stets Classen, von denen kein Element 

 in ® enthalten ist. Denn unter der Voraussetzung (10.) sind ^4,®^!;' = ®„ 

 die n mit ® conjugirten Gruppen , die nicht verschieden zu sein brauchen. 

 Sei t^ die Anzahl der Elemente von §, die in genau \jl dieser n Gruppen 

 enthalten sind. Dann ist 



Andererseits enthält der Complex ©„+ ®i+ • • • + ®„-i gn = li Elemente, 

 falls man die mehrfach vorkommenden auch mehrfach zählt , also jedes 

 der ^^ Elemente, die in genau |U jener ?i Gruppen vorkommen, fx-fach. 

 Demnach ist 



(!i + 2i?a + • • • + nt„ = h 

 und folglich 



Da das Hauptelement E in allen n Gruppen vorkommt, so ist 4>0. 

 Ist also n>\, so ist 4>0. Ist R eins dieser /„ Elemente, und durch- 

 läuft H die h Elemente von § , so kommt R in keiner der Gruppen 

 H®H~^ vor, also ist keins der mit R conjugirten Elemente H^RH in 

 ® enthalten. Nach Gleichung (5.) ist daher 



X 



Ist also k>l, so verschwinden in der Matrix 



(18.) »V (k = 0,1,-A--1; X = 0,l,..7-1) 



alle Determinanten /'"" Grades. 



