506 Gesaniintsitzung vom 14. Juli. 



§2. 



Die kl Zalilen r„^ lassen sich näher bestimmen , wenn ® eine in- 

 variante Untergrui)pe von ip ist. Für diesen Fall habe ich, Gruppm- 

 cliaraktere §7, folgende Sätze entwickelt: Sei <S ein festes Element von 

 Ö, und P ein veränderliches Element von ©. Da iS~'®'S' = ® ist, 

 so durchläuft S'^PS gleichzeitig mit P die y Elemente von ®. Setzt 

 man ^|.^^'\S-'PS) = %|/''''>(P), so ist ^|/'''''{P) ein Charakter von ®. Ist 

 er von \//*'''(P) verschieden, so nenne ich ihn zu ■v|/''''(P) coiyuyirt (in 

 Bezug auf i^). Conjugirte Charaktere haben denselben Grad e^ = ^„. 

 und unterscheiden sich nur durch die Anordnung ihrer Werthe. Sei 

 •*>„ = s„. = ••• die Anzahl der verschiedenen Charaktere von ®, die mit 

 ■vt'"' und folglich auch unter einander conjugirt sind. Jedem Charakter 

 •i/'"' von ® entsprechen ein oder mehrere Charaktere %''', yj' ', ■ •• von 

 i3, so dass 



(I.) ^w(P) + i,^^')(P) + ■■■= '"^xW(P) = '"-x'^'HP) = ••• 



ist für alle g F'lemente P von ®. Umgekehrt entspricht jedem Cha- 

 rakter %''■' von <ö mindestens ein Charakter \//*"' von ®, so dass die 

 Gleichung (i.) erfüllt wird, und wenn ihm mehrere entsprechen, so 

 sind je zwei derselben conjugirt. Ist %'''' gegeben , so sind %''''', %'*■'*, • • • 

 dadurch bestimmt, dass die g Werthe y}^'\P) den g Werthen y}^^{P) 

 proportional sind. Durchläuft Ä die A Elemente von ö . und sind x""' 

 und %'"' verschiedene Charaktere, so können nach Gruppencharaktere 

 § 3 die A Werthe '/.''■H-R) den /«Werthen %*"*(P) nicht proportional sein. 

 Setzt man nun den Ausdruck (i.) für y}^^(P) in die Formel (3.), 

 § I ein, so erkennt man, dass stets 7'„^ = ist, ausser wenn sich 

 •v//*"' und %<^> entsprechen. In diesem Falle aber ist 



(2.) r„, = r..,=... = A 



von Null verschieden, wo -v//'"', \//''''*, ■ • • die s„ unter einander conju- 

 girten, dem %*'' entsprechenden Charaktere von ® sind. Demnach 

 reducirt sich die Gleichung (2.), §1 auf 



(3-) *, = (T„'^'..■••)'•*^'• 



und aus (6.), §1 folgt 



U\ y2 , j-2 , 2 2,2, " 



f 

 Folglich ist /^ durch s, e^ theilbar, und der Quotient • — ist ein 



gemeinsamer Divisor der g ganzen algebraischen Zahlen %'^'(P). Dass 

 n durch .s„ theilbar ist, habe ich schon Gruppencliaroktorr % 7 gezeigt. 



