Frobenius: Über Gruppencharaktere. 50/ 



Ist R nicht in ® enthalten , so gehört auch kein mit R conju- 

 girtes Element P der Gruppe (S an. Mithin folgt aus (5.), §1 



(5-) ./;.x'^H/0 + A'x"(«) +--- = o, 



wenn R nicht in % enthalten ist. 



§3- 



Wir sind von den l Primfactoren 4> der Determinante der 

 Gruppe i3 zu den It Primtactoren * der Determinante H der Unter- 

 gruppe ® gelangt , indem wir alle Variabelen ;r„ = setzten , deren 

 Index R ein in ® nicht enthaltenes Element von ^3 ist. Ich will jetzt 

 zeigen, wie man durch eine andere Construction von den k Functionen 

 * zu den / Functionen $ aufsteigen kann. 



Sei X eine zur Gruppe ® gehörige Matrix des Grades e. Ihre 

 Elemente sind lineare Functionen der g Variabelen Xj., mid ihre De- 

 terminante verschwindet nicht identiscli. Sie ist durch folgende Eigen- 

 schaft charakterisirt : Ersetzt man x,, durch ijp oder Zp, so möge X in 

 Y oder Z übergehen. Ist dann 



Q p P-'-^PQ 



SO ist Z= XY. V,rset7.t man in X jede der [/ Variabelen Xp durch 

 '^APB-', wo A und B zwei Elemente von § sind, so erhält man eine 

 Matrix, die ich mit X^ß bezeichne. Die n P]lemente Ao,Ai, ■■■A„_-^ 

 mögen ein vollständiges Restsystem von .^(mod. ®) bilden, so dass 



(i.) .'ö = Ao® + A,® + ■■■ +Ä,-i® = @^ö' + ®^7' + ••• + ®a:1^. 



Dann betrachte ich die n' Matrizen e'"" Grades, die man aus X^,^ er- 

 hält, indem man für A und B jedes der n Elemente Ag, Ai , ■ • ■ A„_i 

 setzt, und bilde aus ihnen eine Matrix ne*^" Grades (X^^^). Ersetzt 

 man x^ durch y^ oder z^, so gehe X^g in F^,^ oder Z^b über. Sind 

 A, B und N Elemente von S^, so geht die Matrix X'^^rF^,« aus X 

 hervor, indem man Xq durch 



p AP-^N-^ y Npqs-'' 



ersetzt. Hier sind P und Q wie oben Elemente von ®. Nun sind 

 die Elemente von A' lineare Functionen der y Variabelen Xq. Daher 

 gehen die Elemente der Matrix 



XXA,iryir.B {N=A„A„...A„_,) 



x 



aus X hervor, indem man ^v^ durch 



