508 Gesniiiiiitsitziing vom 14. .Iiili. 



ersetzt. DurchläuiY P die // P]lonieiite von (S und N die n Elemente 

 A„, A^, ■■■ A^_^. so dnrcliläul't R = NP nach (i.) die (/« = A verschie- 

 denen Elemente von ^. Setzt man also jetzt, wenn li und <S' Elemente 

 von *ö sind, 



so ist die letzte Summe gleich ^^q^-i, und mithin ist 



2 -X^.iV^V.J? = ^A.H 



N 



oder 



Folglich ist {Xjiß) eine zur Gruppe ^ gehörige Matrix des Grades ne, 

 und daher ist ihre Determinante ein Produet von Primfactoren der 

 Gruppendeterminante 



(2.) |(A'.,,^)| = ri<'-. 



X 



In jeder zu einer Gruppe gehörigen Matrix ist x^ mit der Haupt- 

 matrix multiplicirt. Ersetzt man also darin x^ durch x^+u, so tritt 

 nur zu jedem Elemente der Diagonale das Glied u hinzu. Daher ist 

 der Coef'ficient von «"""' in der Determinante we'"' Grades (2.) gleich 

 der Summe der Diagonalelemente. 



Ist 'i{x) ein Primfactor p'"" Grades von H, so kann man eine zu 

 ® gehörige Matrix X finden, deren Determinante gleich *(a;) ist (Über 

 die Darstelluny der endlichen Gruppen durch lineare Substitutionen , Sitzungs- 

 berichte 1897). Der Coefficient von u"'^ in '¥{x + us) ist Xyp{P)Xp. Für 



F 



die Matrix Xjf^jf ist daher die Summe der Diagonalelemente gleich 



Hier können P und K = NPN'^ alle Elemente von ir> durchlaufen, 

 wenn man wie oben festsetzt, dass ^^(R) = ist, wenn R der Gruppe 

 ® nicht angehört. Durch Vergleichung der Coefficienten von ?/'""' in 

 der Gleichung (2.) erhält man daher, wenn r, = r^^ für * = *^ ge- 

 setzt wird, 



(3.) i 4>M(,x-'iiN) = S ,-,,xW(Ä). 



Ist P ein P:iement von ®, so ist \f/(P-'>SP) = yp{S). Ist näm- 

 lich <S ein Element von ®, so ist dies die Gleichung Gruppencharak- 

 tere § 5, (2.). Ist aber S nicht in ® enthalten, so gehört auch P'^SP 

 nicht der Gruppe ® an und beide Seiten der Gleichung sind Null. 

 Daher ist 



yii|/(A'-'ÄA') = iay(/-'-'A'~'/?iVP) = i4/(S-'/?S), 

 iv jv. y s 



