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isoinoi'plicii (Jiuppe durch Permutationen von n Syml)olen, die icli in 

 meiner Arbeit lUx'r endlklw Grwpiwn % 4 (Sitzungsl)(>rielite 1895) ent- 

 wickelt habe. 



Ist ® eine invariante Untergruppe von ^3; so ist, (lafo= «0= 1 ist, 



(4-) |.-,,,_,J=Ilci.^ = */'*,^"'.--, 



wo x'"' ,%*"*,■■ ■ die Charaktere von i^ sind, die dem Charakter ■4/'"' 

 von (S ents])rechen. Die linke Seite ist die Determinante der Gruppe ' , 



die ich Darstellung § i betrachtet habe. Auch dort habe ich gezeigt, 

 dass die von Null verschiedenen Exponenten i\ gleich /^ sind. Aus jener 

 Gleichung ergiebt sich noch eine bemerkenswertlie Folgerung: Die 

 Indiees ?^ = v, i*', ■•• sind dadurch charakterisirt , dass '/}^\P) für alle 

 y Elemente P der Gruppe ® denselben Werth hat. Da aber die linke 

 Seite die h Grössen x,{ nur in den n linearen Verbindungen .r^,® ent- 

 hält, so gilt dassell)e von jeder der Primfunctionen *^, $„.,■••, und 

 folglich liat auch, wenn N ein festes Element von 5 und P Pin ver- 

 änderliches Element von ® ist, y^^NP) für alle g Elemente P von % 

 denselben Werth. Demnach ergiebt sich der Satz: 



I. Da7nit ein Charakter von <ö "U der Gruppe 4r gehöre., ist noth- 



wendig und hinreichend, dass er für alle Elemente von ® denselben Werth 

 hat. Dann hat er auch gleiclie Werthe für je zwei Elemente von §,, die 

 mod. ® aequivalent sind. 



Man kann diesen Satz auch aus der Formel {(intppeitchanikfrre 

 § 5) ableiten 



(5-) hax{A)x{B)^f^x{AS), 



(ß) 



worin <S' die //,j mit B conjugirten Elemente durchliiul't. Da mitliin 

 %{S) = %(-B) ist, so kann man diese Gleichung auch in der Form 



(«) (3) 



schreiben. Ist ® eine invariante Untergruppe von ^, so enthält sie 

 entweder kein Element der ,S"'" Classe oder alle. Setzt man für (,S) 

 der Reihe nacli sämmtliche Classen , deren Elemente in ® enthalten 

 sind, so findet man durch Summation der entsprechenden Gleichungen 



wo P die Elemente der Gruppe ® durchläuft, und P' die des Com- 

 plexes Ä®. Ist daher 5'X,(P) = 0, so ist auch für jedes Element 72 

 von § 2%(P') = 0. Ist ferner Scx>i2 (mod. ®), so i.st Ä® = S® und 

 folglich auch 



