Frobenius: Über Gruppencli;iraktere. 511 



WO P' dieselben Elemente durchläuft, wie oben. Wenn also ^y^[P) 

 von Null verschieden ist, so muss sein 



(6.) X(J^) = X('S), falls R<^S{moA.%). 



Der letzte Fall tritt sicher ein, wenn die ^ Wcrtbe %(P) alle einander 

 gleich, also alle gleich %(£') = /'sind. Dann gehört demnach der Cha- 

 rakter X = %' * zur Gruppe ^ , die Function $„ enthält die h Varia- 

 belen Xn nur in den n linearen Verbindungen Xjfig, und wird bis auf 

 einen Zahlenfactor dem entsprechenden Primfactor der Gruppe ^ gleich, 

 wenn man darin setzt 



(7.) Xj^ = x^, falls i?(x-,S'(mod. ®). 



Gehört aber der Charakter % = %'^' nicht zur Gruppe ^, so ist die 



Gleichung (6.) nicht für je zwei aequivalente Elemente erfüllt, daher 

 ist 5%(P) = und folglich auch für jedes Element N von iS 



(8.) -x(^'P) = o. 



p 



Der Satz I lässt sich theilweise umkehren. Aus der Formel (5.) 



ergiebt sich, wenn x(^) = Xl-ß) =/ ist, die Gleichung 



Da %{R) eine Summe von / Einheitswurzeln ist, so ist die rechte 

 Seite eine Summe von A^/ Einheitswurzeln. Eine solche Summe kann 

 aber nur dann gleich Ag/ sein, wenn jedes Glied gleich 1 ist. Mithin 

 ist % (.45) =/. Ist also %{A) =/und %(ß) =/, so ist auch ^{AB) =^f. 

 Folglich bilden alle Elemente R von §, für die %(Ä) =/ ist, eine 

 Gruppe ®. Enthält diese das Element B, so enthält sie auch alle 

 mit B conjugirten Elemente S, weil %{<S) = %(5) ist. Daher ist ® 

 eine invariante Untergruppe von ip- 



II. Ist %(R) ein Charakter /'*" Grades der Gruppe ^, so bilden alle 

 Elemente R von ^, für die %{R) =/ ist, eine invariante Untergruppe ® 



von §^ und der Charakter % yehört zu der Gruppe ~ . 



Mit Hülfe dieser beiden Sätze kann man, wenn die Charaktere 

 einer Gruppe bekannt sind, ihre invarianten Untergruppen sämmtlich 

 angeben. Dies Verfahren ist in dem speciellen Falle, wo ö tnne com- 

 mutative Gruppe ist, schon von Weber angegeben. 



Unter den A linearen Functionen 



sind/^ unter einander unabhängige, und durch diese /^ Verbindungen 

 der h Variabelen x^ lässt sich * ausdrücken. Durchläuft P tlic y Ele- 



