512 GcsntiriiitNili'iinu, \<mm 1 1. .luli. 



inoiite von (^S und N ein voll.ständig'cs Rcstsystem von .sS ("lod. ®), so 

 (Imrliläuft S = NP die h Elemente von .»ö- Daher ist 

 k 



f " if.p 



und folglich ist ^n = 0, wenn die Voraussetzung (7.) gemacht wird. 

 Wird 4> auf irgend eine Art als Function von /" unal)]i;ingigcn Va- 

 riabelen dargestellt, so sind diese lineare Verhindungen der Varialielen 

 'c^it und hahen daher dieselbe Eigenschaft. Es gilt also der Satz: 



III. Ist * ein Primfactor f'" Grades von der Determinante der Gruppe 

 i3^ i-'^t ® eine invariante Untergruppe von §^ und setzt man in 4> stets 

 Xji = .r^^ falls Ro2S(mod.®) i'>t, so wird die Function *^ falls ihr Cha- 

 rakter % zu ^ gehört, einem Primfactor dieser Gruppe glricJi; -wenn aber 



7j niclkt zu ^^ gehört j, so lyrschwindet jede der p unahhängigen Variabeleii^ 

 (^ 



durch die sich * darstellen Insst. 



Bringt man nun die Grui)penmatrix A' auf die redueirle Form 



L~'XL {Darstellung, § 5), so geht diese durch die Annalime {7.) in die 



reducirte Form der Matrix der Gruppe ' über, der Rang von L~^ XL 



wird — ^ 11, und von ihren Unterdeterminanten des Grades n ist nur 



9 

 eine von Null verschieden. Folglich wird aucli der Rang der Gruppen- 

 matrix X gleich n und jede Unterdeterminante ri'"" Grades von A' wird 



bis auf einen constanten Factor gleich der Determinante der Grujipe ' . 



§5- 

 Die Formel (5.), § i und die darin enthaltene Formel (9.), § i 



( , .) 2 ... xW(Ä) = ') 2 a.<")(P) , 5 r.x<;' = Jf^ 



X gi'iU) \ ^ 9'<i 



sind besonders dazu geeignet, aus den Charakteren der Untergruppe 

 ®, Charaktere der Gruppe § abzuleiten. Mit Hülfe der letzteren For- 

 mel ist es mir, wie ich bei einer anderen Gelegenheit darlegen will, 

 gelungen, die Charaktere der symmetrischen (iruppe des Grades n 

 allgemein zu bestimmen. Eine besonders einfache Anwendung dieser 

 Gleichung bildet der folgende Satz: 



Enthält die Gruppe § der Ordnung h die Gruppe ® der Ordnung 

 g, besteht die p" Classe conjugirter Elemente in ^ atis h^ Elementen, und 

 gehören davon g der Gruppe ® an, so besteht die nothwendige utid hin- 

 reichende Bedingung dafür, dass die Grössen 



<■■' ^^ = Ä- 



