Frobenius: Über Gnippericharaktere. 51o 



einen Charakter von ^ bilden, darin ^ dass die Anzahl der Glossen ^ worin 

 die Ele7nente von § nach dem Doppehnodul (®, @) zerf allen, gleich zwei ist. 

 Ist X, ein Charakter, so ist 



(2.) 5ÄjXfX/ = /'- 



i 



also 



Nach der Formel (15.), §1 ist folglich 



(3.) (<D:@,®) = '2. 



Das Hauptelement E repraesentirt (modd. ®,®) den Complex 

 ©jE"® = ®. Ist L ein Element von ö, das nicht in ® enthalten ist, 

 so bilden die mit L aequivalenten Elemente von ö den Complex ©i®. 

 Da (5:®, ®) = 2 ist, so ist folglich 



(4.) <D = ® + ®^>®- 



Zerlegt man also <ö (mod. ®) in w verschiedene Complexe 

 5 = ® + P® + Q® + ß®+--, 



so giebt es in ® ein solches Element G, dass G(P®) = ü® ist 



Endlich kann man die gefundene Bedingung auch so ausdrücken: 

 Ist 'D der grösste gemeinsame Divisor aller mit ® conjugirten Unter- 

 gruppen von §> so lässt sich immer ^ als transitive Gruppe von Permu- 

 tationen von n Symliolen in der Art darstellen , dass die Untergruppe 

 -^ von allen Permutationen gebildet wird, die ein bestimmtes Symbol 



ungeändert lassen. Die obige Bedingung besteht nun darin, dass diese 

 Gruppe von Permutationen zweifach transitiv ist. Wird die dem Ele- 

 mente K entsprechende Permutation in ihre cyclischen Factoren zer- 

 legt, so ist 1 + %{R) nach (10.), §1 gleich der Anzahl der Cyclen 

 ersten Grades oder gleich der Anzahl der Symbole, die jene Permu- 

 tation ungeändert lässt. 



Dass die Bedingung (3.) auch hinreichend ist, ergiebt sich aus 

 der Formel (16), § l, wonach i r^ = 2 ist. Da r„ = 1 ist, so ist 

 folglich eine und nur eine Zahl r„ = 1, jede der anderen 1-2 Zahlen 

 r^ = 0. Ist dann %*"' = 7,, so ist nach (9.), § i 



Man kann aber auch direct beweisen, dass (mter der Bedingung 

 (4.) die Grössen "/, den Gleichungen genügen, die zur Berechnung der 

 Charaktere dienen. Von den Elementen der p'"" Classe sind h^-y^ nicht 



