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zwei Cyklcu von je |u, Elementen nach .sich zielit, für welche 

 die Entwickelungen in der Umgel)ung von x =: oc das Anfang.s- 



glied (x — a)"' besitzen. 



Mit Hülfe dieser Sätze ist es nun leicht, viel allgemeinere Irre- 

 diictihilitätskriterien als die in der oben bezeichneten Arbeit von mir 

 angegebenen für algebraische Gleichungen mit rationalzahligen Coeffi- 

 cienten herzuleiten, indem man nacli dem dort angegebenen Princip 

 nur solche Verzweigungen für die algebraische Function zu Av.älden 

 braucht, welche ein Durchlaufen aller Blätter der zugehörigen Rie- 

 MANN'schen Fläche gestatten, ohne durch einen Verzweigungspunkt zu 

 gehen, und in der so erhaltenen Functionalgleiclmng nur die rationalen 

 Functionen durch rationale Zalilen, die zu den Verzweigungspunkten 

 geliörigen linearen Theiler durch Primzahlen ersetzt und der Bedingung 

 des Nichtverschwindens einzelner Coefficienten für die Verzweigxuigs- 

 punkte die Nichttheilbarkeit der ganzzahligen Coefficienten durch die 

 Primzahlen substituirt, so dass z.B. folgt, dass jede algebraische 

 (xleichung 



P+p er J<-' ., ?<■' e, , Öal ^. u. 



//" *^'q a^-\-p ' q'a^x-hp ' q'a^x^-h . . .+p 'q a.x,-': 



+P 9 ^u+r' -hp'q'^' "'y+2-< -\-...+p'-'q w^,_,J 



S* ' K Ou,-i n-1 n 



+p " a^x + . .. +p <'„_,x +x = o , 

 in welcher p und y zwei beliebige Primzahlen, 



S^;l = e Ua, - 7.) ^' + pA oder = eLj., - y,) '-' + , 



41' = ' f (f^3 - T=) ^' ) o'^Pi- = ^((f^ - 7.) ^^ 



^y^<'\(y — i) - I oder = (\[v — 7) 



je nachdem das Argument der ^-Function eine ganze Zahl ist 

 oder nicht, worin \x^-^ \j.^-^ n, v = jw, + ;c grösser als u, und \x^ 



sein soll, > , die Brüche -, . irreductibel und die 



Coefficienten a„ weder durch p noch durch (/, r/u, nicht 

 durch p, r/, nicht durch q theilhar sind, mit Adjungirung 

 rationaler Zahlen irreductibel ist. 



Der aus dem einfachsten Falle sich unmittelbar ergebende Satz, 

 dass, wenn in einer algebraischen Functionalgleichung 

 sämmtliche Coefficienten mit Ausnahme des ersten durch 



