KoENiGSBKRGF.R : Eiitwickeluiigsl'oriii al.Ufhraisolier Functionen. 731^ 



einen gemeinsamen linearen Factor theilbar sind, und diese 

 Gleicliung- enthält als Factor ein ebenso beschaffenes Poly- 

 nom, in welchem die in seinem letzten Coefficienten ent- 

 haltene Potenz dieses Linearfactors einen um die Einheit 

 kleineren Exponenten besitzt als im letzten Coefficienten 

 der gegebenen Gleichung, der Quotient beider Polynome 

 irreduetibel ist, liefert, in der angegebenen Weise auf Zahlen- 

 gleichungen übertragen, einen Satz, der als ganz speciellen Fall den 

 Irreductibilitätsbeweis der zu einer Primzahlpotenz gehörigen, von 

 den nicht primitiven Einheitswurzeln befreiten Kreistheilungsgleichung 

 gibt, und weiter folgt aus dem Theorem: 



Sind y, , y, , . . . 3/^, >)j , >53, >)„ . . . die Lösungen der beiden 

 algebraischen Function al gl eichungen 



und 



y" + (^- — ,6)'"' <^_(,r)y"-' + (a; — /3) ^"^ cp,(x)if-' + ... 



(.r — /3r'" ' "''^^ (p^_^{x)i/ + {x — ccy(p„{x) = o, 



in denen /.(.r) ,/Jx) ,... 0,(;i-) , (/),(.r) ... ganze Functionen von x 

 bedeuten, für welche /„.(a) und </)„(/3) von Null verschieden, 

 ferner r zu m, p zu n relativ prim sind, und hat die erste 

 Gleichung in x^/ä, die zweite in a; ^ a keine Verzweigung 

 — was als nothwendige Folge nach sich zieht, dass die 

 Gleichungen nicht bloss, wie aus ihrer Form erkennbar, 

 mit Adjungirung rationaler Functionen irreduetibel sind, 

 sondern dass auch jede der Gleichungen selbst mit Adjun- 

 girung der Lösungen der anderen Gleichung irreduetibel 

 bleibt — so wird die Gleichung y/m*"" Grades, deren Lösungen 

 durch die bilineare Function der Lösungen der beiden Glei- 

 chungen 



i\. = 4'o(A')y>,i„+ ■lM')!/>.+ 4'M'K+ M^^) , 



worin die ■4'{x) ganze Funtionen bedeuten, dargestellt wer- 

 den, und welche somit die Form hat 



Y""'-hF,{x)Y""'-'+F,{x)Y'"''-'-h . . . +F„„{x) = o, 



in welcher F,{x), . . . F,„„{x) ganze Functionen von x sind, selbst 

 wieder irreduetibel sein, wenn m zu n relativ prim sind, 

 wie leicht zu erkennen, ganz unmittelbar der Beweis von der Irre- 

 ductibilität der zu einer beliebigen zusammengesetzten Zahl gehörigen, 



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