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Über auflösbare Gruppen. III. 



Von G. Frobenius. 



In meiner Arbeit Über außösbare Gruppen, Sitzungsberichte 1893 (i"^ 

 folgenden A.I citirt) habe ich folgenden Satz bewiesen: 



Sind die Primfactoren der Zahl a alle unter einander verschieden^ und 

 ist jeder Primfador von b grösser als der grösste Primfactor von a, so 

 giebt es in einer Gruppe i3 der Ordnung ab genau b Elemente j, deren 

 Ordnung iii b aufgeht. 



Mit Hülfe der Theorie der Gruppencharaktere will ich hier be- 

 weisen, dass diese b Elemente eine Gruppe bilden, die als einzige 

 ihrer Art eine charakteristische Untergruppe von § sein muss. In 

 meiner Arbeit Über endliche Gruppen, Sitzungsberichte 1895, habe ich 

 (§ 2. II) gezeigt: 



Ist 21 eine invariante Untergruppe von S^ und S eine invariante Unter- 

 gruppe von 6^ sind a und ab die Ordnungen von 21 und S^ und sind a 

 und b theilerfremdj so ist 21 auch eine invariante Untergruppe von (E. 



Demnach ist der allgemeine oben aufgestellte Satz eine unmittel- 

 bare Folge des specielleren Satzes: 



I. Ist die Ordnung h der Gruppe § 7mr durch die erste Potenz der 

 PrimzaJil p theilbar und ist p—^ zu h theilerfremdj, so enthält ö ^''^^ und 

 nur eine (demnach cJiarakteristische) Untergruppe der Ordnung h : p. Diese 

 wird gebildet von allen Elementen der Gruppe §^ deren Ordnung nicht 

 durch p theilbar ist. 



Die Bedingung, dass p—i vnid h theilerfremd sind, ist stets er- 

 füllt, wenn p der kleinste Primfactor von h ist. Den obigen Satz 

 beweist für die beiden Fälle ^ = 3 und 5 Hr. Btjknside in der inter- 

 essanten Arbeit On some properties of groups of odd order (Proceedings 

 of the London Math. Soc... vol. XXXIII), worin er zum ersten Male die 

 Theorie der Gruppencliaraktere zur Erforschung der Eigenschaften 

 einer Gruppe benutzt hat. Aber auch in dem lange bekannten Falle 

 p = 2 beruht der Beweis auf den nämlichen Grundlagen. Stellt man 

 nämlicli ö als transitive Gruppe von Pormutationen von h Symbolen 



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