850 Gesammtsitzung vom 25. Juli. 



dar, so ist die Hälfte dieser Permutationen gerade, die Hälfte un- 

 gerade. Demnach hat § einen Charakter ersten Grades, der für die 

 geraden Permutationen den Werth + 1, für die ungeraden den Werth 

 -1 hat. 



Eine Gruppe Ö» deren Ordnung h durch die Primzahl p theilbar ist, 

 enthält ein Element P der Ordnung p. Die Potenzen A^on P bilden 

 eine Gruppe ^ und die mit ^ vertauschbaren Elemente von <ö eine 

 Gruppe ü der Ordnung q. Ist Q ein Element von , so ist Q'^PQ = P. 

 Ist nun p — l zu q theilerfremd. so muss s = 1 (mod. p), also Q mit P 

 vertauschbar sein. Denn da Q' = E ist , so ist P = Q-'PQ'' = P(''', 

 und mithin ist s' = 1 (mod. p). Da auch s''"' = 1 ist, so ist, weil q 

 und p — l theilerfremd sind, s = 1 {A. I, § 3). 



Die Elemente von § mögen in k Classen conjugirter Elemente zer- 

 fallen. Von den p-\ Elementen P, P"^,-- P"'^ sind nicht zwei con- 

 jugirt. Denn ist H'' F' H = P^ , und ist ^7 = 1 (mod. p), so ist H-^PH 

 = P^^, also H-^%!)H=%^. Daher gehört H der Gruppe Q an, und 

 folglich ist, wie eben gezeigt, /37 = 1 und mithin oc^ß. 



Die k verschiedenen Charaktere von § seien 



X'">(fi) (x = 0,l,.-A-l). 



Dann ist (Über die Primfactoren der Gruppendeterminante, Sitzungs- 

 berichte 1896; im folgenden Pr. citirt; § 7, (8.)). 



(I.) xyyKR-')y^''\R) = Y^. 



Avo h,i die Anzahl der mit R conjugirten Elemente bezeichnet; dagegen 



(2.) 2xW(Ä-)x<"'(S) = o, 



wenn die Elemente R und -S nicht conjugirt sind. 

 Daher ist unter den obigen Voraussetzungen 



(3.) 2X'''>(^-')X<'*'(^") = 0, (a = 2,3,.-;;-l) 



aber 



(4.) syW(p-.)x(")(P) = f. 



Ist %'"'(-£') ^/'"'j so ist %*"'(P) eine Simime von /'"' Wurzeln der Glei- 

 chung x'' = 1 (Pr. § 12, (6.)), die einzeln dadurch bestimmt sind, dass 

 %*"*(P") die Summe ihrer ä'™ Potenzen ist. Ist daher ^ eine primitive 

 p'" Wurzel der Einheit, so ist 



X<"'(P) = rW + rWp +■•.+,>),/-', 

 (5.) x'-H^") = r(^ + 'f 'p" + • • • + r% p<^-"", 



