Frobenius: Über auflösbare Gruppen. III. 851 



WO r['\ r',"' • • ■ r^p'li nicht negative ganze Zahlen sind. Mithin ist nach 

 (3.) und (4.) 

 2 (rW + ,>> p-' + r<-^ p-^ + ■ • • + rW, p-'' + ') (rW + »f p" + r« p'" + ■ ■ ■ + .f , p«""'»") = 



füi- x = 2,3, ■■■ p-[, aber = — für ai = 1 . 



Ich benutze auch die Zeichen r^^'^ r^'l^,---, indem ich rj."' — r^"^ 

 setze, Avenn a = /3 (mod. p) ist. Auf der linken Seite ist dann, wenn 

 man sie mittelst der Gleichung p'' = 1 reducirt, das von p unabhän- 

 gige Glied gleich 



WO /3 die Werthe 1, 2, ■••j9-l durchläuft. 



Die erhaltenen Gleichungen bleiben bestehen, wenn man p durch 



p", p^ ••• p''~^ ersetzt. Für p = 1 aber ist 



2 (,■<;) + rW + • • . + rW,)^ = 2/('')''' = A. 



Addirt man die p so gefundenen Gleichungen, so ergiebt sich 



2 r^-')r'--') + 22 rH rl-) = — 

 « » » « s "'^ ''= i? 



für «4 = 2. 3. •■•ü-1, dagegen gleich \- (p-l) —j— iur « = 1 . Multi- 



■^ '^ - '^ p php 



plicirt man mit a und summirt nach a von 1 bis p-l. so erhält man 



ip(p-])2;t)r(") + 2 2 arO-^rW = i(y.- !)/< + (p-l)4-. 



X K a.S P"/» 



Daher besteht, wenn p xuigerade ist, die Congruenz 



2 2« r^'} K") = y- (mod. p) , 



X „,3 "■=■ " php 



wo sowohl ot als ß p-l Zahlen durchläuft , die den Zahlen 1 , 2 , • • • 

 j5 — 1 (mod. p) congruent sind. Unter ^"' (mod. p) verstehe ich die ganze 

 Zahl 7, die der Congruenz ßy = 1 genügt. Ersetzt man dann in der 

 obigeii Congruenz den Summationsbuchstaben u durch a/3~', so er- 

 hält man 



2 (2ar(-))(2 6-'?i«)) = r- (mod. ü). 



« n " ,5 ^ php ' 



Ich nehme jetzt an, dass /« nur durch die ei'ste Potenz von p 



theilbar ist. Dann ist — .— nicht durch p theilbar. Daher giebt es einen 

 plip 



Werth von /.. für welchen 



2 arW = rW + 2 rW H +{p-\) H;ii 



nicht durch p theilbar ist. Der letzte Ausdruck ist der Exponent der 

 Potenz von p , die gleich dem Producte der /*"' Einheitswurzeln in der 



