852 Gesammtsitzung vom 25. Juli. 



Summe (5.) ist. Dieses Product S-(P) ist aber ein Charakter ersten Grades 



von § {Pr. § 12, (9.)). Die Gruppe <ö besitzt also einen Charakter ersten 



Grades , der für R =1 P gleich einer primitiven 7)'^" Einheitswurzel ist. 



Für ein Element S der Oi-dnung s ist ^{S) eine s'^ Wurzel der 



Einheit. Ist r/ = — , so ist ^{Ry = %{R) auch ein Charakter ersten 



Grades von Ö , dessen Werth für Ä = P eine primitive p'" Wurzel der 

 Einheit ist, für jedes Element R aber, dessen Ordnung in g aufgeht, 

 gleich 1 ist. Nun habe ich (über Relationen zwischen den Charakteren 

 einer Gruppe und denen ihrer Untergruppen, Sitzungsberichte 1898; § 4 , II; 

 im folgenden mit Rel. citirt) gezeigt: 



Ist %(R) ein Charakter /"" Grades der Gruppe S^, so bilden alle 

 Elemente R von §,. für die % (R) = / ist^ eine invariante Untergruppe ® 



von Ö^ und der Charakter % gehört zu der Gruppe ^. 



Daher hat ^ eine invariante Untei-gruppe ©, gebildet von allen 

 Elementen von ^, für die %{R) = 1 ist. Diese enthält das Element P 

 nicht, ist also < ö- Sie enthält aber alle Elemente von §5 deren 

 Ordnung in f/ aufgeht. Ist, in Primfactoren zerlegt, g = a"b^c'^---, so 

 enthält i3 Untergruppen der Ordnung a" , b^ , d^, ■ ■ ■ . Da diese alle 

 in © enthalten sind, so ist die Ordnung von ® durch a" , b^ , c'^, ••■, 

 also durch g theilbar, und folglich, weil sie < ?i ist, gleicli g. Für 

 die in der Arbeit A. I entwickelten Sätze, die hier nicht vorausgesetzt 

 sind, ist damit zugleich ein neuer Beweis gewonnen. 



In dem Satze I. wird verlangt, dass p-\ zu A theilerfremd ist. 

 Wie der Beweis zeigt, genügt es aber schon, wenn j9-l zu g theiler- 

 fremd ist. Z. B. ist nach Sylow die Ordnung einer transitiven Gruppe § 

 von Permutationen von p Symbolen eine Zahl der Form 

 h = pq {np + 1), 



wo q ein Divisor von p-l ist, und np + 1 die Anzahl der in Ö enthalte- 

 nen Gruppen ^* der Ordnung p ist. Die mit einer solchen Gruppe ^ 

 vertauschb.aren Elemente von § bilden eine metacyklische Gruppe Q 

 der Ordnung pg'. Nun hat Mathieu bemerkt: «Ist q = \, so ist n ^^ 0.« 

 Denn dann hat § nach dem Satze I. eine und nur eine Untergruppe © 

 der Ordnung np -\-\. Nun bilden aber die Permutationen der transitiven 

 Gruppe §, die x„ ungeändert lassen, eine solche Gruppe ®. Daher 

 lässt jede Permutation von ® das Symbol x„, d.h. x„, x^, ■■■ x^^ 

 ungeändert, und mitliin ist ® die Hauptgnippe und ihre Ordnung 

 7ip + 1 = 1 . 



§2. 

 In ähnlicher Weise lassen sich die allgemeineren Betrachtungen 

 vervollständigen und vereinfachen, die ich in meiner Arbeit Über auf- 



