Frobenius: Über auflösbare Gruppen. 111. ö5t) 



lösbare Gruppen II, Sitzungsberichte 1895 (im folgenden A. 11 citirt), 

 angestellt habe. Sei g eine Untergruppe von §, von deren Elementen 

 nicht zwei in Bezug auf § conjugirt sind. Sind A und B zwei Ele- 

 mente von g, so ist daher das mit A conjugirte Element B'^AB von % 

 gleich A, oder es sind je zwei Elemente von % vertauschbar, AB = BA. 

 Sei m der Rang der commutativen Gruppe g, sei ij, i^ ••• i„, 

 eine Basis von % und sei l^ die Ordnung von L^. Dann kann jedes Ele- 

 ment P von 3, und zwar nur in einer Art auf die Form P = L];L\' ■ ■ ■ L^^ 

 gebracht werden. Ist ferner p„ eine primitive l^" Wurzel der Einheit, 

 und sind a.^, a.^ ■■■ cc,„ irgend m Zahlen , so ist 



ein Charakter von g. Ist A = L"' L^' ■ ■ ■ i^'", so bezeichne ich diesen Cha- 

 rakter mit 4^a{P)- Ist / die Ordnung von ^, so sind dadurch die 

 /Charaktere von % den Elementen A zugeordnet, doch ist diese Zu- 

 ordnung von der Wahl der Basis und der Wahl der Wurzeln p^,--- p„ 

 abhängig (vergl. H. Weber, Theorie der Abel' sehen Zahlkörper, Act. Math. 

 Bd. 9, Seite 112). Das Product zweier Charaktere (ersten Grades) ist 

 wieder ein solcher, und zwar ist \|/^(P)\|/£(P) = •v^^ß(P). Der zu •v//^(P) 

 inverse Charakter ist 4'^(P)-' = 4^a{P-') = 4'^-.(P)- 



Zwischen den Charakteren %'■''' {R) der Gruppe § und den Cha- 

 rakteren •^/^(P) von g bestehen {Rel. § i) Relationen der Form 



(6.) x<"'(P) = J'-<rM',(P), 



deren Coefficienten r^' positive ganze Zalilen sind. Die Summe erstreckt 

 sich über alle Elemente A von g. Nach der Voraussetzung gilt die 

 Gleichung (2.), § i für je zwei verschiedene Elemente von g. Daher ist 



2 X rM4'JP-')rWa.^(Q) = 0, 



« A,B 



aber wenn P ^ Q ist, gleich ^—. Setzt man 



so ist 



oder -j—. Daher ist 





h 



X^JQ)(^X^s^^^^JP)4',(Q-^)^ = -^ 4'AP)- 



Nun ist 2\t^(Q)4'c(Q"') = 0, aber wenn B — C ist, gleich /. 



Q 



Daher ist 



5^.«^..(p)=;.', ^.(^)^ 



