^A.B- ,.^TZ^AiP-')^Bin- 



'A.E='A = ^^ir: ^J^)' 



854 Gesamnitsitzung vom "25. Juli, 



und in derselben Weise ergiebt sich aus dieser Gleichung 

 _ ^ _ 1 



/ 



Nun ist -IaP-') = 4^A-'(P) und ^|..,_,(P)^|/^(P) = ^/^-.^(P) • Setzt 

 man also 



so ist 



Ferner ist —-4^4 (P) = 0, aber wenn P = £■ ist, gleich/. Daher ist 



A 



^ h 



-/a = J=9. 



Die Formel (6.) gilt für jedes F^lement P von ® , also auch für P" 

 und für E. Daher enthält sie die Darstellung von yj'^P) als Summe 

 von /*"' Einheitswurzeln. Das Product derselben 



^W(P) = nvJ;^(P)'-^"' 



ist ein Charakter ersten Grades von §, genauer, es giebt einen Cha- 

 rakter ^^"'{R), der für die Elemente P der Gruppe g die angegebenen 

 Werthe hat. Daher ist auch 



ein Charakter ersten Grades von iö 5 oder wenn man A durch AB 

 ersetzt. 



A A 



und endlich auch 



.MP) 



MP) 



l^^^-.(P)^ 



oder wenn man BC~^ = A setzt, •4/.,(P)". 



Nimmt man jetzt an, dass / und g theilerfremd sind, so folgt 

 daraus, dass \//^(P) selbst ein Charakter von § ist; d. h. es giebt' 

 einen oder mehrere Charaktere ersten Grades %{E) von $», die für 

 die Elemente P der Gruppe ^ die Werthe v^^lP) haben. Sei ® der 

 Complex der Elemente von 5? deren Ordnung in g auf^geht. Ist dann 

 gg' = 1 (mod. /), so ist %{RY^' ein Charakter ersten Grades von §, 

 der dieselbe Eigenschaft besitzt, und der füi- die Elemente des Com- 

 plexes ® gleich 1 ist. Einen solchen Charakter bezeichne ich mit 



