Frobenuis: Ül)er auflösbare Gruj)j)en. III. 855 



%a(R)- Alle Elemente von i5> tür die jeder der / Aerscliiedenen C'ha- 

 raktere %x(i2) = 1 ist. bilden eine invariante Untergruppe von §, und 

 diese ist gleich ®. Sei nämlich R ein Element A^on §, das dem Com- 

 plexe ® nicht angehört. Dann ist die Ordnung von R durch einen 

 Primfactor p von / theilbar. Sei p' die höchste in / aufgehende Po- 

 tenz von p, sei ^ eine Untergruppe der Ordnung p'' von 5- Dann ist 

 j^h:p>- _. Q gjj^ y^^.^ ^ verschiedenes Element von §» dessen Ordnung 

 eine Potenz von p ist. Nun sind alier je zAvei in .*ö enthaltene Gruppen 

 der Ordnung p'' conjugirt , und Q ist in einer dieser Gruppen enthalten. 

 Daher ist ein mit Q conjugirtes Element P in %\ enthalten. Nun kann 

 man den Charakter \//^ so wählen, dass der Werth \i/^(P) von 1 ver- 

 schieden ist. Dieser Werth ist aber gleich y^AP) = y^^dQ)- Folglich 

 ist auch 7j^(-R) von 1 verschieden. 



Die Gruppe ® ist durch ^ theilbar, also ihre Ordnung durch p*", 

 und mithin, weil für p jede in g aufgehende Primzahl gesetzt werden 

 kann, durch i/. Sie enthält aber keine in / aufgehende Primzahl /. 

 weil es sonst in ® ein Element der Ordnung / gäbe. Die Ordnvmg 

 von ® ist daher gleich g. Damit ist der Satz bewiesen: 



II. Sind f und g theikrfi-emde Zahlen^ und enthält eine Gruppe § der 

 Ordnung fg eine Gruppe g der Ordnung /, von deren Elementen nicht zwei 

 in Bezug auf *ö conjugirt sindj so enthält 5 ^ine und nur eine charakteristische 

 Unterg)-uppe der Ordnung g. Diese loird gebildet von allen Elementen von ö^ 

 deren Ordnung in ® aufgeht. - 



Es ist dann § = g® = ®Jij. die Gruppe Ji, ist der Gruppe "g" 



isomorph, und die Charaktere von ^ oder -^- sind zugleich Charaktere 



von §. Sie haben für jedes Element des Complexes ®P denselben 

 Werth %(P) = -liP). 



Allgemeiner gilt der Satz (vergi. die Arbeit Über Gruppen von 

 vertauschbaren Elementen, Journal für Math., Band 86, § 3, V): 



III. Enthält eine Gruppe ö der Ordnung fg eine Gruppe J^ der Ordnwigf, 

 von deren Elementen nicht zwei in Bezug auf ö conjugirt sind, bilden die 

 g"'" Potenzen der Elemente von jlj eine Gruppe 91 der Ordnung a, und ist 58 

 die Gruppe der Elemente von f^,, deren g'' Potenz gleich E ist, so ent- 

 hält 5 ^ine invariante JJntergruppe , zu der alle Elemente von ö gehören, 

 deren Ordnung zu a theilerfremd ist, und die mit f^ den grössten gemein- 

 samen Theiler ^ hat. 



In dem Satze, den ich A. II, § 3 bewiesen habe, kommt eine Gruppe 

 JÖi der Ordnung a^b vor, die eine Gruppe 21, der Ordnung a^ enthält. 

 Die Zahlen a^ und b sind theilerfremd, und jedes Element von Sl, ist 

 mit jedem von iöi vertauschbar, l)il(let also für sich eine Classe coujugir- 

 ter Elemente von Jöi- Daher enthält i3i ('hie Gruppe der Ordnung b, 



