856 Gesammtsitzung vom 25. Juni. 



und daraus folgt, da,ss die dort mit 0^ bezeichnete Zahl gleich 1 ist. 

 Demnacli kann man jenem Satze die präcisere Form geben: 



IV. Enthält eine Gruppe ^ der Ordnung fg eine invariante Untergruppe 

 J^ der Ordnung f^ und sind g und /S- (5) theilerfremdj so ist § das Product 

 aus 3 in ^if^^ Gruppe © der Ordnung g^ deren Elemente mit denen von 5 

 vertauschbar sind. 



§3- 



Wir haben vorausgesetzt: «Zwei Elemente von ^, die in Bezug 

 auf Ö conjugirt sind, sind gleich.« Darausfolgt: «Jedes Element von 

 i3, das mit ^ vertauschbar ist, ist mit jedem Elemente von '^ ver- 

 tauschbar.« Denn ist R'^'^R = 5, so ist für jedes Element P von 

 g auch jR"'P R =z Q ein Element von ^5- ^^ P T^m^^ Q conjugirt sind, 

 so ist P =^ Q. 



Die zweite Eigenschaft von ^ sagt also weniger aus als die erste. 

 Ist aber die Ordnung / = p^ von ^ die höchste Potenz einer in h ent- 

 haltenen Primzahl p, so folgt aus der zweiten Eigenschaft auch die 

 erste. Bezeichnen wir jetzt j} mit 'ip. Die mit ^ vertauschbaren Ele- 

 mente von 5 bilden eine Gruppe Q. Dann verlangt die Voraussetzung, 

 dass jedes Element von Q mit jedem Elemente von ^ vertauschbar 

 ist. Sei P ein Element von ^. Die mit P vertausclibaren Elemente von 

 5 bilden eine Clruppe 9t. Dann ist ^<ü<9it<ö, wo das Zeichen < 

 das Enthaltensein ausdrückt. Es soll nun bewiesen werden: Sind P 

 und P' zwei Elemente von ^, die in Bezug auf § conjugirt sind, so 

 ist P = P'. Sei nämlich H'' P' H = P. Da P' der Gruppe ^ an- 

 gehört, so ist P ein Element der Gruppe 7/~"*P H = ^'. Auch in 

 ^' sind, wie in ^, je zwei Elemente mit einander vertauschbar. Mithin 

 ist P mit jedem Elemente von ^ und jedem von ^' vertauschbar, 

 oder 5K ist durch ^ und ^' theilbar. Nun ist aber p'' die höchste 

 Potenz A^on p, die in der Ordnung von fü aufgeht. Nach dem Sylow- 

 schen Satze giebt es daher in 9t ein solches Element R, dass i2~"*ü'Ä = ^ 

 ist. Mithin ist ^HR — HR^, also ist HR = Q ein Element der Gruppe 

 Ö<91. Daher ist auch H = QR~^ in 9i enthalten, also mit P ver- 

 tauschbar und folglich ist P' = HPH'' = P (vergl. A. II, § 5). 



Seien p'"' , p^' ■■■ p^'" die (oben mit l^, l^--- l„, bezeichneten) Inva- 

 rianten der commutativen Grupjse ^, sei ;c> die Anzahl der Zahlen 

 \,K •••A,„, die >A sind', und sei x die grösste der Dift'erenzen 

 X, — Xj, x„ — X3 •■•. Dann habe ich A. II, § i 



p{V) = {p-i) {p'-i)---{p'-\) 



' Dann sind X = X^+>..,-\ und X = «,+».,H zwei Zerlegungen der Zahl X, 



die man als associirte bezeichnen kann (Über die Charaktere der symmetrischen Gruppe, 

 Sitzungsberichte 1900, § 6). 



