Frobenu's: Über auflösbare Gruppen. III. 857 



gesetzt. Ist nun p^q die Ordnvmg- der Gruppe Q, und ist q zu 3-(^) 

 theilerfremd, so ist jedes Element R von Q mit jedem Elemente von 

 ^ vertauscld^ar. Denn ist p' q' die Ordnung \on R, wo p' eine Po- 

 tenz von p und q' ein Theiler von q ist, so ist R = PQ, wo P und 

 Q die Ordnungen j)' und q' haben und gleich Potenzen von R sind. 

 Das Element P gehört der Gruppe ^ an, ist also mit jedem Elemente 

 von "P vertauschbar. Dieselbe Eigenschaft hat Q, weil q' zu pS'C'P) 

 theilerfremd ist {A. 11, § 2). Daher ist auch R mit jedem Elemente 

 von ^ vertauschhar. Demnach gilt der Satz: 



V. Ist p^ die höchste Potenz der Primzahl p^ die in der Ordnung 

 h = p^g der Gruppe § aufgeht j, ist ^ eine in § enthaltene Gruppe der Ord- 

 nung p\ sind je zwei Elemente von ^ mit einander vertauschhar ^ und ist g 

 zu S-Cip) theilerfremd^ so enthält §» eine und nur eine (demnach charakte- 

 ristische) Untergruppe der Ordnung g. Diese ivird gebildet von allen Ele- 

 menten der Gruppe §^ deren Ordnung nicht drtrch p theilbar ist. 



Sind z.B. g und j?(p^— 1) theilerfremd, so enthält eine Gruppe 

 der Ordnung p^g eine vmd nur eine Untergruppe der Ordnung g. 



