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Über auflösbare Gruppen. IV. 



Von G. Fkobenius. 



Oei der Abfassung meiner Ai-beit Über auf lösbare Gruppen III.. Sitzungs- 

 Tiorichte 1901 (im Folgenden A. III citirt), lag mir die Abhandlung 

 dos Hrn. Buenside On .some properties of groups of odd order (Proceed- 

 ings of tlie London Math. Soc. , vol. XXXIII, p. 163) vor. aber nocJi 

 nicht ihre Fortsetzung, elienda p. 257. In dieser hat er die in 5; i 

 und § 3 meiner Arbeit entwickelten Sätze auf einem anderen Wege ei'- 

 halten, auf dem man auch zu dem allgemeineren Ergebnis des § 2 

 gelangen kann. Nach der von mir benutzten Beweismethode werde 

 ich im Folgenden einen noch umfassenderen Satz herleiten und daran 

 in § 4 den vollständigen Beweis eines von den HH. Maillet und Burnside 

 nur bedingungsweise erhaltenen Resultates knüpfen. Dabei bediene 

 ich mich derselben Bezeichnungen wie in meiner Arbeit Über Relationen 

 zwisclien den Charakteren einer Gruppe und denen ihrer Untergruppen. 

 Sitzungsberichte 1898, die ich im Folgenden mit Rel. citiren werde. 



§ I- 

 Ist die Gruppe ® der Ordnuni;- g in der Grup[)e S^ der Ordnung 

 Ji = gn enthalten, so ist 



(I.) *,, = n ^^^'-^ (. = 0,1, -..A--!; ). = 0,1,. ••/-!) 



Hier ist $, einer der / Primfactoren der Gruppendeterminante von §:. 

 in dem alle Yariabeln x^ = gesetzt sind, deren Indices R nicht Ele- 

 mente von ® sind, und 4^, durchläuft die Ic Primfactoren der Gruppen- 

 determinante Aon ®. Daraus ergeljon sicli zwischen den Charakteren 

 beider Gruppen die Relationen 



wo P ein l)eliebiges Element von ® ist. Durcli Auflösung dieser 

 Gleichung<'n lindet man 



(3.) 2r...x(')(Ä)= „/'-iJ^W(P)- 



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