Frobenius: Über auflösbare Gruppen. IV. 121 7 



Hier ist R ein beliebiges p]lement von §; ^m*^!^ P <lurchläuf't die (/^ 

 Elemente von ®, die mit R in Bezug auf § conjugirt sind. Giebt 

 es ein solches Element P niclit. so ist die Simime auf der linken 

 Seite Null. 



Icli mache jetzt folgende Voraussetzung: Je zwei Elemente von ®, 

 die in § conjugirt sind, seien auch schon in ® conjugirt. Dann sind 

 die ffji Glieder der letzten Summe alle einander gleich, und demnach 

 nimmt die Gleichung (3.) die einfachere Form 



(4.) 2„,xW(i?) = Jf aW(P) 



X ff II II 



an, Avo P ein mit R conjugirtes Element von © ist. Setzt man also 



(5.) -r„x»-ßx = ««3 = «3«' (a,ß = 0,l,----t-l) 



.SO folgt aus (2.) und (4.) 



(6.) 2.^„3 4^(^>(P) = '^^'"H^), 



ä gitp 



vuid wenn ■1/'''\E) = e^ ist, 



(7.) — s„i e,i = ii(:„. 



Daraus ergiebt sich 



(8.) J^a^<«)(P)>|.(^)(P-)=^.„,. 



Ist ■^/''''(P) der Hauptcharakter, und setzt man 



•SoO ^ ■'Oct = ^ai 



so ist demnach für /3 =: 



(9.) x'!^M''\P)=gs^. 



F ffnp 



Jetzt sei \^*'''(P) ein bestimmter Charakter ersten Grades von @». 

 Dann ist das Product 



(lO.) a,W(P)a;(^)(P-i)= lfy(''')(P) 



ebenfoUs ein (associirter) Charakter des Grades e^ = e^, von ®, und Avenu 

 y. alle Werthe von bis k-i durchläuft, so nimmt x! dieselben Werthe, 

 nur in anderer Reihenfolge, an. Aus den Gleichungen (8.) und (9.) folgt 



*«3 = S„i , 



Der Charakter y}'\R) von § ist, wenn r die Ordnung des Ele- 

 mentes R ist, eine Summe von/, = %*'■*{£') ?•"" Wurzeln der Einheit, die 

 einzeln dadurch bestimmt sind, dass 'x,*'^'(P"') die Summe ihrer m'"" 

 Potenzen ist. Ihr Product S-'''(i2) ist ein linearer Charakter von Jö- 

 Ebenso ist der Charakter ■^^''''(P) von ® eine Summe von e^ Einheits- 

 wurzi'ln, deren Product ri^''\P) ein linearer Cliarakter von © ist. Die 



107' 



