1218 Gesammtsitzung vom .'). Deceiiiber. 



Formel (2.) gilt auch für alle Potenzen von P, und daher sind die 

 /> Einheits wurzeln, deren Summe %**'(^) i^t) einzeln gleich den 



Einheitswurzeln, deren Summe auf der linken Seite steht. Dasselbe 

 Resultat ergiebt sich direct aus der Formel (i.), falls man darin alle 

 Variabein ausser Xp vuid Xj; Null setzt. Demnach ist das Product jener 

 /^ Einheitswurzeln 



nr,W(P)'-»'=^W(P), 



und folglich ist 



X a 



Da auch die Formel (10.) für jede Potenz von P gilt, so werden die 

 e^ Einheitswurzeln, deren Summe ■^''""'{P) ist, aus denen, deren Summe 

 •^/''''(P) ist, gefunden, indem man jede mit der Einheitswurzel •^''^'(P"') 

 multiplicirt. Daher ist 



r)M(P) = r,W(P) d'(5)(P-)^- 

 und folglich 



n -,](") (P)-^"'5 =: n7](«)(P)-^"' = ri »](«■) (P)*«' ^\,i^){p )'"■'"•. 



Da tsc! zugleich mit a die Werthe A'on bis k—l durchläuft, so ist nach (7.) 



2 Ca'Sa' = "X €„$„ = n 



und mithin 



n^W(P)''/5^ = 4;('5)(P)"n>5(")(P)-^". 



Auf der linken Seite stellt ein linearer Charakter von ^, genauer, 

 es giebt einen solchen Charakter, der für die Elemente P der Gruppe 

 ® die auf der rechten Seite stehenden Werthe besitzt. Setzt man 

 /3 =: 0, so erkennt man, dass auch 



nr/«)(P)-'« 



ein linearer Charakter von ^ ist', mithin auch der Quotient beider 

 Charaktere a/('3)(P)". 



Die «'" Potenz von jedem linearen Charakter von ® ist also ein 

 linearer Charakter von yS. Da ein solcher Charakter durch die Bedin- 



' Ist © der grösste gemeinsame Divisor der mit (8 conjugirteti Untergruppen 

 von s3, so kann man -^ als transitive Gruppe von Permutationen von ra Symbolen so 

 darstellen, dass die Permutationen , die ein bestimmtes Symbol unseändert lassen, die 

 Gruppe -j~r bilden. Je nachdem dem Elemente P eine positive oder negative Permu- 

 tation entspricht, hat der obige Charakter den Werth +1 oder —1. Denn er ist die 

 Determinante der linearen Substitution P, also das Pi-oduct der Determinanten ^(P) 

 der irreductibeln Substitutionen, worin sie zerfiillt. 



