Frobenius: Über .auflösbare Gruppen. IV. 1219 



gun.ii- x(R)%{S) = %{RS) bestimmt ist, so ist umgekehrt ein linearer 

 Charakter von Ö f»uch ein linearer Charakter jeder Untergruppe ®. 



Sei 91 die Commutatorgruppe A^on ®, r ihre Ordnung, fj =■ mr. 

 Dann giebt es m verscliiedene lineare Charaktere vun %, etwa 



l|;(ä>(P). (ß = 0,l,-..m-l) 



Sind nun m und n tlieilerfremd, so kann man a und h so be- 

 stimmen, dass ma + nb = 1 ist. Da •^'''^'(P)'" = 1 ist, so ist 



Es giebt also einen linearen Charakter yJ^U) von ^, der für die Ele- 

 mente von (§ die Werthe %(P) = ■4/''^*(P) hat. Dieselbe Eigenschaft hat 

 der Chai-akter %(Ä)"', den ich mit yj'^'ili) bezeichnen werde. Für alle 

 Elemente von §, die der Gleichung R" = E genügen, ist y}'^\R) = 1. 

 Der Complex dieser Elemente sei 9{. 



Die Elemente von §• füi' welche die /ii linearen Charaktere %'*^*(ii) 

 A'on Ö den Werth 1 haben, bilden eine invariante Untergruppe ©'a^ou ^, 

 die durch 5t und die Commutatorgruppe 9v' von Q, also auch durch 

 5}{ theilbar ist. Die A'on dl' und 9i erzeugte Gruppe © ist in ©' ent- 

 halten, und ihre Ordnung s ist durch r und n theilbar, wie man leicht 

 durch Zerlegung A'on n in Primzahlpotenzen erkennt. 



Die rn Charaktere ■^/''^'(P) haben für jedes Element von 9t, aber für 

 kein anderes Element A^on ©, sämmtlich den Werth 1. Mithin ist 9t 

 der grösste gemeinsame Divisor von ® und (£', also auch A'on ® und ©. 

 Das kleinste gemeinschaftliche Vielfache Aon ® und © ist eine in § 

 enthaltene Gruppe §' = ®S = ©® der Ordnung A'. Nach einem be- 

 kannten Satze sind folglich die Gru23pen 



isomorph, und es ist — = — , also // = ms und —^m-r,. Da Ji durch 

 ^ s r s h 



die Zahlen g und n theilbar ist. so ist, Avenn diese tlieilerfremd sind, 

 //' = h, i3' = Öj -5 = fn. 



1. Id die Gruppe ® dei- Ordnung g in der Gruppe ö der Ordnung 

 h = gn enthalten^ und sind je zwei Elemente von ®^ die in § conjugirt 

 sind^ auch schon in ® conjugirt^ so ist die n" Potenz jedes linearen Charakters 

 von ® ein linearer Charakter von ö. 



Ist r die Ordnung und m der Index der Commutatorgruppe 9t von ®,. 

 und sind m und n iheilerfremd , so erzeugen die Elemente von Qj deren Ord- 

 nimgen in n aufgehen, zusammen mit der Commutatorgruppe von ö ei'ne 

 charakteristische Untergi-wppe <B von §^ deren Ordnung s durch r und n. und 

 deren Index cha-rh ?n theilbar ist. Sind g und n theilerfremd. so ist s = rn 



= —, und die comnndative Gruppe _- ist der Gruppe ^^ isomorph. 



