1220 Gesainmtsitziuig vom 5. December. 



Die Bedingungen dieses Satzes sind erfüllt, wenn zAvei verschie- 

 dene Elemente von ® nie in <5 conjugirt sind. Dann ist /• = 1, ?« = g, und 

 © = 91 ist eine charakteristisclie Untergruppe der Ordnung n \o\\ §• 

 Dies ist das Hauptergebnis meiner Arbeit A. III (§ 2, II). Mit dem 

 daraus abgeleiteten Satze IV, § 2 ist der folgende nahe verwandt: 



II. Sind f und g theilerfremd, und enthält eine Gruppe der Ordnung 

 fg nicht mehr als f Elemente, deren Ordnungen in f aufgehen, und nicht 

 mehr als g Elemente, deren Ordnungen in g aufgehen, so bilden jene f 

 Elemente und diese g Elemente je eine Gruppe, und jedes Element der einen 

 Gruppe ist mit jedem der anderen vertauschbar. 



In der Gruppe i3 tler Ordnung _/j7 sei J^- (bez. ®) der Complex der 

 Elemente, deren Ordnungen in/(bez.f/) aufgellen. Da/und^ theilerfremd 

 sind, so lässt sich jedes Element von ^, und zwar nur in einer Art, als 

 Product von einem Elemente des Complexes ^ und einem des Com- 

 plexes ® darstellen, die mit einander vei'tauschbar sind. Wäre also 

 nicht jedes Element R von ^ mit jedem Elemente S von ® vertausch- 

 bar, so enthielte JÖ weniger als h = fg Elemente (vergl. meine Arbeit 

 Yerallgemeinerung des Sylow' sehen Satzes, Sitzungsberichte 1895; § 2, IV). 

 Alle Elemente von ^, die mit jedem Elemente R von j} vertauschbar 

 sind, bilden eine Gruppe ®'. Da sie durch ® tlieilbar ist, so ist ihre 

 Ordnung fg durch g theilbar (ebendas. § 2 , III). Die Elemente von 

 ®', deren Ordmuigen in/, also in /„ aufgehen, gehören dem Complexe 3 

 an und sind daher mit jedem Elemente von ®' vertauschbar. Je zwei 

 derselben, A und B, sind demnach auch mit einander vertauschbar. 

 Aus A^ = E und B^=E folgt daher {AB Y' = E. Mithin bilden diese 

 Elemente eine Gruppe g^. Ihre Ordnung ist in fg enthalten und ist 

 durch /„ theilbar, aber durch keinen Primfactor q von g. Denn sonst 

 enthielte ^^ ein Element, dessen Ordnung q nicht in/ aufgeht. Daher 

 ist die Ordnung der Gruppe '^„ gleich/, und da jedes ihrer Elemente 

 ein invariantes Element von ®' ist, so können zwei verschiedene Ele- 

 mente von j5(j nicht in ®' conjugirt sein. Folglich bilden nach dem oben 

 erwähnten Satze die Elemente von ®', deren Ordnung in g aufgeht, d. h. 

 die Elemente des Complexes ®, eine Gruppe. Ebenso erkennt man, 

 dass 5 eine Gruppe ist. Hr. Birnside hat {Theory of groups of finite 

 Order, p. 131, § 100) diesen Satz nur für den Fall bewiesen, dass / 

 eine Potenz ehier Primzahl und i^ eine auflösbare Gruppe ist. 



§3- 

 Um von dem Satze I eine Anwendung zu machen, benutze ich 

 die Eesultate, die Hr. Burnshje, Theory of groups, >J. 257 erhalten hat, 

 zum Beweise des folgenden Satzes : 



