Fküüenius: Über auflösbare Gruppen. IV. 1221 



III. Ist p eine Primzahl, § c^'^^ Gruppe der Ordnimg p"n^ ^ eine 

 in ß enthaltene Gruppe der Ordnung p"., SR die Commutatorgruppe von ^^ 

 bilden die Elemente von ^^ die mit einem von ihnen vertauschhar sind, 

 entweder die ganze Gruppe ^^ oder eine Gruppe 9t'^ 9i"^ . . . der Ord- 

 nung p"-\. ist n theilerfrejnd zu p. ^{%^l 9-(SR)^ ^(^l), ^(Sl'\ .... so enthält 

 Ö eine und nur eine Untergi-uppe der Ordnung n. 



A. a. 0. wird aus diesen Annalimen abgeleitet: Je zwei Elemente 

 von ^, die in .'5 conjugirt sind, sind auch schon in ^ conjugirt. Die 

 Commutatorgruppe 9t von ^ besteht aus lauter invarianten Elementen 

 von %\ und ist daher selbst eine commutative Gruppe. 



Ist also p- die Ordnung von 9t, so entliält Jö nach Satz I eine 

 invariante Untergruppe <B der Ordnung p'n. Sie ist durch die Com- 

 nmtatorgruppe von Ö? also auch durch 9t th eilbar und umfasst alle 

 P^lemente A^on 5, deren Ordnungen in n aufgehen. 



Nun ist aber die in @ enthaltene Gruppe 9t der Ordnung p' eine 

 commutative Gruppe, und n ist zu S^(9t) theilerfremd. Nach Satz V, 

 ^1. III, enthält daher ©. und folglich auch §> nicht mehr als n Ele- 

 mente, deren Ordnungen in n aufgehen, und diese bilden eine Gruppe 5t. 

 Z. B. ergiebt sich für a = 3: 



IV. Eine Gruppe ö (^('>' Ordnung p^n enthält stets eine invariante 

 Untergruppe der Ordnung n, falls n zu p und p'— 1 theilerfremd ist. Nur 

 icenn ß eine lineare Gruppe der Ordnung p^ enthältj muss n ausserdem, 

 noch zu p'''-\-p+\ theilerfremd sein. 



Der Vollständigkeit wegen füge ich einen etwas vereinfachten Be- 

 weis für den benutzten Hülfssatz hinzu. 



Die mit ^ vertauschbaren Elemente von Ö bilden eine Gruppe Q 

 der Ordnung p"q. Da q zu 'ä-{%S] theilerfremd ist, so ist jedes Element 

 Qvonü, dessen Ordnimg in q aufgeht, mit jedem Elemente P von 

 ''13 vertauschbar {A.II, § 2), und jedes Element von Ü kann als Pro- 

 duct von zwei solchen Elementen PQ dargestellt werden. Sei 9t eine 

 invariante Untergruppe von *P, z. B. irgend eine in ^ enthaltene Gruppe 

 der Ordnung p"~\ Dann ist P mit 9t vertauschbar, und Q mit jedem 

 Elemente von 9t, und daher ist auch PQ mit 9t vertauschbar. Bilden 

 also die mit 9t vertauschbaren Elemente von Ö t^ic Gruppe 9t' der 

 Ordnung p''r, so ist 9t' durch Ü theilbar. Sind R und R^ zwei Ele- 

 mente von ^, die in ^' conjugirt sind, so ist R^ = A'^RA, A = QP, 

 Q-'RQ = R und mithin R, = P-'RP. Daher sind R und R, aucli in 

 ^ conjugirt. Die mit R vertauschbaren Elemente von ö bilden eine 

 Gruppe © , deren Ordnung nach der gemachten Voraussetzung durch 

 p" oder nur durch p"~^ theilbar ist. 



Ist erstens die Ordnung von © gleich p'Vs, so ist jede Gruppe^ 

 der Ordnung^", in der R vorkommt, in S enthalten. Denn ange- 



